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[ID: 2564] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:23] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Dénombrement dans les groupes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23

Soit \(g\in G\), il s’agit de montrer que \(g\) s’écrit sous la forme \(g=ab\) où \(a\in A,\ b\in B\).

Soit \(A^{-1}g:=\{\,a^{-1}g,\ a\in A\,\}\), l’application \(A\ni a\mapsto a^{-1}g\in A^{-1}g\) étant bijective \(\text{card}(A)=\text{card}(A^{-1}g)\) et par suite \(\text{card}(A^{-1}g)+\text{card}(B)>\text{card}(G)\). Il en résulte immédiatement que \(\text{card}(A^{-1}g)\cap\text{card}(B)\neq\emptyset\) i.e. il existe \(a\in A\) tel que \(a^{-1}g=b\in B\) soit \(g=ab\).