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[ID: 2562] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:23] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(10^{2006}\) divise \(n!\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23

Dans la décomposition en facteurs premiers de \(n!\), l’exposant du nombre premier \(p\) vaut (pourquoi ?) \[\sum_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n}{p^i}\right]\] qui est bien entendu une somme finie puisque \([n/p^i]=0\) pour \(i>\log_p(n)\). Ainsi \[n!=\prod_{p,\ p/n!}p^{\alpha_p}=2^{\alpha_2}3^{\alpha_3}5^{\alpha_5}\dots\] où \[\alpha_2=\sum_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n}{2^i}\right],\quad \alpha_5=\sum_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n}{5^i}\right].\] Mais pour \(n\geq 2\) \[\alpha_5=\sum_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n}{5^i}\right]<\alpha_2=\sum_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n}{2^i}\right].\] Par conséquent, pour que l’écriture décimale de \(n!\) se termine par exactement \(2006\) zéros il est essentiel que \(\alpha_5=2006\). Il faut donc déterminer les entiers \(n\) tels que \(n!=2^{\alpha_2}3^{\alpha_3}5^{2006}\dots\). Comme \[\alpha_5=2006=\sum_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n}{5^i}\right]<\sum_{i=1}^\infty \dfrac{n}{5^i} =\dfrac{n}{5}\sum_{i=0}^{\infty}5^{-i}=\dfrac{n}{4},\] nous avons \(n>4\times 2006=8024\). Avec un calcul facile l’exposant de \(5\) dans la décomposition de \(8025!\) vaut \[\alpha_5=\sum_{i=1}^\infty\left[\dfrac{8025}{5^i}\right]=1605+321+64+2=2004.\] Il faut nous faut donc deux zéros supplémentaires, par conséquent, le plus petit entier \(n\) tel que \(n!\) se termine par \(2006\) zéros est \(n=8035\) et l’ensemble cherché est \(8035, 8036, 8037, 8038, 8039\).