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[ID: 2556] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:23] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Avec un peu d’algèbre linéaire
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23

Soit l’identification naturelle \(\mathscr P(\{1,2,\dots,n\})\simeq\{0,1\}^n\) donnée par \[A\in\mathscr P(\{1,2,\dots,n\})\quad \leftrightsquigarrow\quad e_A=(e_A(i))_{i=1}^n \quad\text{où}\quad e_A(i)=\begin{cases}0\quad&\text{si}\ i\not\in A,\\ 1\quad&\text{si}\ i\in A.\end{cases}\] Dans le \(\mathbb Q\)-espace vectoriel \(\mathbb Q^n\) de dimension \(n\), les \(n+1\) vecteurs \(e_{A_1},\dots,e_{A_{n+1}}\) sont \(\mathbb Q\)-linéairement dépendants ce qui peut se traduire facilement par \[\exists\,\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb Z\ \text{\rm{non tous nuls, tels que}}\quad \sum_{k=1}^{n+1}\lambda_i e_{A_i}=0.\] et qui équivaut à \[\sum_{i\in I}\lambda_i e_{A_i}=\sum_{j\in J}\lambda_je_{A_j}\] où \(I:=\{k\in\{1,2,\dots,n+1\},\ \text{tels que}\ \lambda_k>0\}\neq\emptyset\) (resp. \(J:=\{k\in\{1,2,\dots,n+1\},\ \text{tels que}\ \lambda_k<0\}\neq\emptyset\)) qui fourni immédiatement l’égalité \[\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcup_{j\in J}A_j,\] si désirée.