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[ID: 2554] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:23] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Les dés sont pipés
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23

1. Désignons par \(X_i,\,(i=1,2)\) les variables aléatoires correspondant à la somme des points sur les faces de chacun des deux dés, elles sont indépendantes à valeur dans \(\{1,\dots,6\}\). Notons \(p(X_1=i)=a_i,\,P(X_2=i)=b_i,\,(i=1,\dots 6)\). Supposons donc que \(X_1+X_2\) (à valeur dans \(\{2,\dots,12\}\)) suive une loi uniforme i.e. \[\forall\,i\in\{2,\dots,12\}\ :\ P(X_1+X_2=i)={1\over 11}.\] La fonction de répartition de \(X_1+X_2\) est \[F_{X_1+X_2}(t)={1\over 11}\left( t^2+t^3+\dots +t^{12}\right)\] et celles des \(X_i\) sont \[F_{X_1}(t)=a_1t+a_2t^2+\dots+a_6t^6, \quad\text{ et }\quad F_{X_2}(t)=b_1t+b_2t^2+\dots+b_6t^6.\] Mais \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes \[F_{X_1+X_2}(t)=F_{X_1}(t) F_{X_2}(t) {(\bigstar)}\] i.e. \[\forall\,t\in\mathbb R:\qquad {1\over 11}\left(1+t+t^2+\dots+t^{10}\right)=(a_1+a_2t+\dots+a_6t^5) (b_1+b_2t+\dots+b_6t^5)\] le coefficient de \(t^{10}\) étant \(1\over{ 11}\), nécessairement \(a_6>0\) et \(b_6>0\) et par suite \(a_1+a_2t+\dots+a_6t^5\) et \(b_1+b_2t+\dots+b_6t^5\) possèdent chacun une racine réelle comme polynômes de degré impair mais ceci est absurde car \(1+t+t^2+\dots+t^{10}\) est sans racines réelles, contradiction.

2. Avec deux dés normaux, on a bien entendu \[P(X_1+X_2=2)=\dfrac{1}{36},\quad P(X_1+X_2=3)=\dfrac{2}{36},\quad P(X_1+X_2=4)=\dfrac{3}{36},\dots\text{ect}\dots P(X_1+X_2=12)=\dfrac{1}{36}.\] de sorte que la formule \((\bigstar)\) deviens maintenant \[\begin{aligned} \dfrac{F_{X_1+X_2}(t)}{t^2}&=\dfrac{1}{36}\left( 1+2t+3t^2+4t^3+5t^4+6t^5 +5t^6+4t^7+3t^8+2t^9+t^{10}\right) \\ &=\dfrac{1}{36}\left( 1+t+t^2+t^3+t^4+t^5\right)^2\\ &=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1-t^6}{1-t} \right)^2\\ &=\dfrac{F_{X_1}(t)F_{X_2}(t)}{t^2}\\ &=(a_1+a_2t+\dots+a_6t^5) (b_1+b_2t+\dots+b_6t^5) \end{aligned}\] les racines du premier polynôme sont les racines sixièmes de l’unité, exepté \(1\) et toutes avec une multiplicité \(2\) : \[\omega, \omega^2, -1, -\omega, -\omega^2\] (où \(\omega\) est une racine primitive de l’unité) ainsi les dix racines du polynôme \(t^{-2}F_{X_1}(t)F_{X_2}(t)\) sont les dix nombres complexes \[\omega,\omega^2,-1, -\omega,-\omega^2, \omega,\omega^2,-1, -\omega,-\omega^2.\] cinq d’entre-eux sont les racines de \(a_1+a_2t+\dots+a_6t^5\) les cinq autres étant celles de \(b_1+b_2t+\dots+b_6t^5\). En choisissant les cinq premières pour le premier polynôme et les cinq autres pour le second on obtient \[\dfrac{F_{X_1}(t)}{a_6t}=(t+1)(t-\omega)(t-\omega^2)(t+\omega)(t+\omega^2)= =1+t+t^2+t^3+t^4+t^5\] on fait de même pour le second dé, soit \[a_1=a_2=\dots=a_6=\dfrac{1}{6}=b_1=b_2=\dots=b_6\] i.e. les deux dés ne sont pas pipés. Il ne reste plus qu’à vérifier à la main qu’aucune autre partition des dix racines ne convient. La seule alternative est donc le cas classique de deux dés non pipés.

   Remarque : voici une autre manière pour résoudre la première partie de ce problème, elle est un peu plus simple mais (à mon goût), moins élégante. On conserve les mêmes notations qu’au dessus.

   On a \[\begin{aligned} &P(X_1+X_2=2)&=&\ a_1b_1=\dfrac{1}{11}\\ &P(X_1+X_2=12)&=&\ a_6b_6=\dfrac{1}{11}\\ &P(X_1+X_2=7)&=&\ a_1b_6+a_2b_5+a_3b_4+a_4b_3+a_5b_2+a_6b_1=\dfrac{1}{11} \end{aligned}\] des deux premières égalités on tire \[b_1=\dfrac{1}{11a_1}\quad b_6=\dfrac{1}{11a_6}\] l’inégalité classique \(\dfrac{x^2+y^2}{xy}\geq 2\) nous donne \[\dfrac{1}{11}\left( \dfrac{a_1}{a_6}+\dfrac{a_6}{a_1}\right) \geq \dfrac{2}{11}>\dfrac{1}{11}\] soit, sur le troisième terme \[\begin{aligned}P(X_1+X_2=7)&=\ a_1b_6+a_2b_5+a_3b_4+a_4b_3+a_5b_2+a_6b_1\\ &=\dfrac{1}{11}\left( \dfrac{a_1}{a_6}+\dfrac{a_6}{a_1}\right)+ a_2b_5+a_3b_4+a_4b_3+a_5b_2\\ &> \dfrac{1}{11}+a_2b_5+a_3b_4+a_4b_3+a_5b_2>\dfrac{1}{11} \end{aligned}\] i.e. \[P(X_1+X_2=7)>\dfrac{1}{11}\] contradiction.