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[ID: 2552] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:23] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Dénombrement et algèbre linéaire
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23

Soit \(A=((a_{ij}))\in O_n(\mathbb R)\cap M_n(\mathbb Z)\), \(A\) étant orthogonale, ses colonnes sont de norme \(1\)

\[\forall\ 1\leq j\leq n\quad :\quad \sum_{i=1}^n\,a^2_{ij}=1\]

mais les coefficients \(a_{ij}\in\mathbb Z\), donc

\[\forall\ 1\leq j\leq n,\ \exists\,!\ \sigma(j)\in\{1,\dots,n\}\text{ tel que } a_{\sigma(j)j}=+1\text{ ou }-1\text{ et }\ a_{ij}=0\ \forall\ i\ne\sigma(j)\]

ainsi, dans chaque colonne (ou ligne) un seul coefficient n’est pas nul et vaut \(+\) ou \(-1\).

Toujours par orthogonabilité de \(A\) :

\[\forall\ i\ne j\quad :\quad \sum_{k=1}^n\,a_{ki}a_{kj}=0.\]

Supposons que dans la première colonne le \(k\)-ième coefficient soit non nul : \(a_{k1}\ne 0\), les vecteurs première et seconde colonne étant orthogonaux on a forcément \(a_{2k}=0\) et il ne reste donc que \(2(n-1)\) choix possibles pour completer la seconde colonne. De proche en proche le cardinal de \(O_n(\mathbb R)\cap M_n(\mathbb Z)\) est \(2^n n!\).