Soit \(G\) un groupe fini non commutatif. On note \(p(G)\) la probabilité pour que deux éléments de \(G\) tirés au hasard commutent entre eux. Montrer que \(p(G)\leq \frac{5}{8}\) et préciser pour quels groupes cette valeur maximale est atteinte.


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[ID: 2550] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:23] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Groupes et probabilités
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23

Soit \(G\) un groupe fini non commutatif, notons \(Z\) son centre et pour \(x\in G\) désignons par \(G_x\) l’ensemble des éléments de \(G\) commutant avec \(x\). \(Z\) et \(G_x\) sont deux sous-groupes de \(G\) ; \(Z\) est lui même un sous groupe de \(C_x\). Le théorème de Lagrange, nous assure de l’existence de trois entiers \(m, k_x, l_x\in\mathbb N\) vérifant \[\vert G\vert=m\vert Z\vert,\quad \vert G\vert=k_x\vert G_x\vert,\quad \text{et}\quad\vert G_x\vert=l_x\vert Z\vert .\] soit \[k_xl_x=m\].

-Si \(x\in Z\), alors \(G_x=G,\ k_x=1\) et \(l_x=m\).

-Sinon, \(G_x\ne G\) (car \(x\not\in Z\)) donc \(k_x>1\) et \(l_x>1\).

Il existe donc \(a\in G\setminus Z\) tel que \[mk_al_a=m^2\geq 4.\]

On a donc : \[\begin{aligned} p(G)&=\dfrac{1}{\vert G\vert^2}\sum_{x\in G}\vert G_x\vert= \dfrac{1}{\vert G\vert^2}\left(\sum_{x\in Z}\vert G_x\vert+ \sum_{x\in G\setminus Z}\vert G_x\vert \right) \\ &=\dfrac{1}{\vert G\vert^2}\left( \vert G\vert \vert Z\vert+ \sum_{x\in G\setminus Z}\vert G_x\vert \right) \\ &\leq \dfrac{1}{\vert G\vert^2}\left( \vert G\vert \vert Z\vert+(\vert G\vert -\vert Z\vert)\dfrac{\vert G\vert}{2}\right) \\ &\leq \dfrac{\vert G\vert +\vert Z\vert}{2\vert G\vert}\\ &\leq \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{4}+1\right) =\dfrac{5}{8}. \end{aligned}\]

Pour le cas d’égalité, \(p(G)=\frac{5}{8}\), si, et seulement si \(m=4\). C’est en effet nécessaire vu ce qui précède ; réciproquement, si \(m=4\), on a \(\vert G_x\vert=\frac{1}{2}\vert G\vert\) pour tout \(x\in G\setminus Z\) et on obtient l’égalité.

Remarque : Pour en savoir plus, on peut consulter la rubrique questions-réponses de la RMS [rms], 2003/04, tome 2.


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