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Groupes et probabilités
Soit \(G\) un groupe fini non commutatif. On note \(p(G)\) la probabilité pour que deux éléments de \(G\) tirés au hasard commutent entre eux. Montrer que \(p(G)\leq \frac{5}{8}\) et préciser pour quels groupes cette valeur maximale est atteinte.
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[ID: 2550] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:23] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Groupes et probabilités
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23
Soit \(G\) un groupe fini non commutatif, notons \(Z\) son centre et pour \(x\in G\) désignons par \(G_x\) l’ensemble des éléments de \(G\) commutant avec \(x\). \(Z\) et \(G_x\) sont deux sous-groupes de \(G\) ; \(Z\) est lui même un sous groupe de \(C_x\). Le théorème de Lagrange, nous assure de l’existence de trois entiers \(m, k_x, l_x\in\mathbb N\) vérifant \[\vert G\vert=m\vert Z\vert,\quad \vert G\vert=k_x\vert G_x\vert,\quad \text{et}\quad\vert G_x\vert=l_x\vert Z\vert .\] soit \[k_xl_x=m\].
-Si \(x\in Z\), alors \(G_x=G,\ k_x=1\) et \(l_x=m\).
-Sinon, \(G_x\ne G\) (car \(x\not\in Z\)) donc \(k_x>1\) et \(l_x>1\).
Il existe donc \(a\in G\setminus Z\) tel que \[mk_al_a=m^2\geq 4.\]
On a donc : \[\begin{aligned} p(G)&=\dfrac{1}{\vert G\vert^2}\sum_{x\in G}\vert G_x\vert= \dfrac{1}{\vert G\vert^2}\left(\sum_{x\in Z}\vert G_x\vert+ \sum_{x\in G\setminus Z}\vert G_x\vert \right) \\ &=\dfrac{1}{\vert G\vert^2}\left( \vert G\vert \vert Z\vert+ \sum_{x\in G\setminus Z}\vert G_x\vert \right) \\ &\leq \dfrac{1}{\vert G\vert^2}\left( \vert G\vert \vert Z\vert+(\vert G\vert -\vert Z\vert)\dfrac{\vert G\vert}{2}\right) \\ &\leq \dfrac{\vert G\vert +\vert Z\vert}{2\vert G\vert}\\ &\leq \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{4}+1\right) =\dfrac{5}{8}. \end{aligned}\]
Pour le cas d’égalité, \(p(G)=\frac{5}{8}\), si, et seulement si \(m=4\). C’est en effet nécessaire vu ce qui précède ; réciproquement, si \(m=4\), on a \(\vert G_x\vert=\frac{1}{2}\vert G\vert\) pour tout \(x\in G\setminus Z\) et on obtient l’égalité.
Remarque : Pour en savoir plus, on peut consulter la rubrique questions-réponses de la RMS [rms], 2003/04, tome 2.
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