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[ID: 2548] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:23] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Dénombrement et séries entières/génératrices
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:23

Notons \(d_{n,p}\) la quantité cherchée et voici deux solutions.

1. Par dénombrement : Les \(p\) personnes sont numérotées de \(1\) à \(p\). Étant donné \(n+p-1\) cases vides, on en sélectionne \(n\) (signalées par \(\text{$\star$}\)), les \(p-1\) autres sont marquées par un trait vertical \(\vert\). Le nombre d’étoiles entre les deux premiers traits représente le nombre d’euros (éventuellement nul) attribués à la première personne et ainsi de suite. Par exemple si \(p=5\) et \(n=6\) la configuration

   \[\vert\ \vert\text{$\star$}\text{$\star$}\text{$\star$}\vert\text{$\star$}\vert\ \vert \text{$\star$}\text{$\star$}\]

   correspond au partage \(0,3,1,0,2\)

   Cette procédure résout visiblement notre problème et il y a clairement \(C_{n+p-1}^n\) choix possibles i.e. \(d_{n,p}=C_{n+p-1}^n\).

2. 0ù avec les séries entières : Vu le cours sur les séries entières, par convergence absolue on a le produit de Cauchy

   \[\sum_n a_nx^n\sum_n b_nx^n\dots \sum_n c_nx^n=\sum_n d_nx^n\ \ \text { avec } \ \ d_n=\sum_{k+k'+\dots+k''=n} a_k b_{k'}\dots c_{k''}x^k\]

   avec \(\displaystyle c_{n,p}=\sum_{k_1+k_2+\dots+k_p=n}a_{k_1}a_{k_2}\dots a_{k_p}\) où les \(a_{k_i}=1\), donc vu la formule ci-dessus :

   \[{1\over {(1-x)^p}}=\sum_{n\geq 0} C_{n+p-1}^nx^n=\sum_n x^n\sum_n x^n\dots \sum_n x^n=\sum_n c_{n,p}x^n\ \ \]

   et il n’y a plus qu’à identifier les coefficients.

   Remarque : le candidat à l’agrégation externe peut (et doit) se placer dans l’unique cadre des séries formelles.