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[ID: 2540] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:22] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Distribution de deux points sur un segment (1)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:22

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L’entier le plus proche de \(\frac{x}{y}\) est zéro si \(2x<y\) et (pour \(n\geq 1\)) vaut \(2n\) si \(\frac{2x}{4n+1}<y<\frac{2x}{4n-1}\) (on ignore bien entendu les éventuelles extrémités de ces intervalles qui sont de probabilités nulles). La probabilité cherchée est donc l’aire grisée de la figure ci-contre, soit : \[\bigcup_{n\geq 1}\left\lbrace \,(x,y)\in[0,1]^2\quad:\quad \frac{2x}{4n+1}<y<\frac{2x}{4n-1}\right\rbrace\] soit \[p=\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \right)+ \left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}\right) +\dots\] Mais comme \[\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dots\] on trouve \(p=\dfrac{5}{4}-\dfrac{\pi}{4}\)