Si l’on choisit deux réels au hasard dans l’intervalle \([0,1]\), quelle est la probabilité que la distance dans le plan complexe des deux racines du polynôme \(p(z)=z^2+bz+c\) soit inférieure ou égale à \(1\) ?

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[ID: 2538] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:22] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Distance entre deux racines d’un polynôme
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:22

La distance entre les deux racines de \(p\) est égale à \(\sqrt{\vert\Delta\vert}=\sqrt{\vert b^2-4c\vert}\) ; elle est donc inférieure à \(1\) si et seulement si \(-1\leq b^2-4c\leq 1\). Il faut donc que le point \((b,c)\) se trouve dans la région délimitée par le carré \([0,1]\times [0,1]\) et les deux paraboles \(y=\frac{x^2-1}{4}\) \(y=\frac{x^2+1}{4}\). La probabilité cherchée est donc l’aire de ce domaine, soit \(\int_0^1 \frac{x^2+1}{4}dx=\frac{1}{3}\) divisée par l’aire du carré (soit \(1\)) : elle vaut donc \(1/3\).

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