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Un peu de dénombrement autour d’une série entière
Est-ce que le coefficient de \(x^{45}\) dans le développement en série entière à l’origine de \[(1-x)^{-1}(1-x^3)^{-1}(1-x^9)^{-1}(1-x^{15})^{-1}\] vaut \(88\) ?
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[ID: 2534] [Date de publication: 9 novembre 2022 12:22] [Catégorie(s): Combinatoires et probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Un peu de dénombrement autour d’une série
entière
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:22
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 12:22
Les pôles de cette fraction rationnelle sont des racines de l’unité : elle est donc développable en série entière à l’origine (et le rayon de convergence vaut \(1\)). On a donc \[\begin{aligned}(1-x)^{-1}(1-x^3)^{-1}(1-x^9)^{-1}(1-x^{15})^{-1}&=\left(\sum_{a=0}^{+\infty}x^a\right)\left(\sum_{b=0}^{+\infty}x^{3b}\right)\left(\sum_{c=0}^{+\infty}x^{9c}\right)\left(\sum_{d=0}^{+\infty}x^{15d}\right)\\ &=\sum_{k=0}^\infty u_kx^{k},\end{aligned}\] où \(u_{k}\) désigne bien entendu le nombre de \(4\)-uplets \((a,b,c,d)\in\mathbb N^4\) vérifiant \(a+3b+9c+15d=k\). Notre mission est donc de dénombrer les \(4\)-uplets \((a,b,c,d)\in\mathbb N^4\) vérifiant \[a+3b+9c+15d=45.{\text{($\star$)}}\] (\(\star\)) assure déja que \(a\) est un multiple de \(3\), disons \(a=3\alpha,\ \alpha\in\mathbb N\), soit \[\alpha+b+3c+5d=15.\] -\(d=3\) implique \(\alpha=b=c=0\) : un cas.
-\(d=2\) implique \(c=1\) (alors trois possibilités : \((\alpha,b)\in\{(0,2),(2,0),(1,1)\}\)) ou \(c=0\) (alors \(\alpha+b=5\) soit \(6\) possibilités) : neuf cas.
-\(d=1\) implique \(c=3,2,1\) ou \(0\) soit \(2,5,8\) et \(11\) possibilités : 26 cas.
-\(d=0\) implique \(c=5,4,3,2,1\) ou \(0\), soit \(1,4,7,10,13\) et \(16\) possibilités : 51 cas.
L’équation (\(\star\)) a donc \(51+26+9+1=87\) solutions : la réponse à la question est donc non.
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