Putnam (2005), [amm] 2005/8.

Déterminer tous les nombres réels \(a>0\) pour lequels il existe il existe une fonction positive \(f\in\mathscr C^0([0,a])\) telle que le domaine \[\mathscr D=\{(x,y)\ :\ 0\leq x\leq a,\ 0\leq f(x)\leq f(x)\}\] admette une aire et un périmètre de même valeur.


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[ID: 2527] [Date de publication: 9 novembre 2022 11:18] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Même périmètre et même aire
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18

\(f\) continue sur le compact \([0,a]\) atteint son maximum en un point \(c\in[0,a]\) et il faut remarquer que \(f(c)>0\) (sinon \(\mathscr D\) aurait une aire nulle mais un perimètre \(a>0\)...). Notons \(k\) l’aire (ou le périmètre) de \(\mathscr D\). \(\mathscr D\) est visiblement inclu dans le rectangle \([0,a]\times [0,f(c)]\) : son aire est donc inférieure ou égale à celle du rectangle \(af(c)\). D’un autre coté, \(k >2f(c)\) car \(2f(c)\) est strictement plus petit que la distance de \((0,0)\) à \((c,f(c))\) plus la distance de \((c,f(c))\) à \((a,0)\) distance strictement plus petite que le périmètre \(k\) de \(\mathscr D\). Nous avons donc \(2f(c) < k\leq af(c)\) ; en particulier, ceci impose \(a>2\).

Réciproquement, pour \(a>2\) le domaine \(\mathscr D\) associé à l’application constante \(f(x)=2a/(a-2)\) est un rectangle d’aire \(2a^2/(a-2)\) et de périmètre \[2a+2\dfrac{2a}{a-2}=\dfrac{2a^2}{a-2}.\] Donc, tout nombre réel \(a>2\) convient.


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