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[ID: 2525] [Date de publication: 9 novembre 2022 11:18] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur la longueur de l’ellipse
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18

1. L’équation paramétrique de l’ellipse étant \[\begin{cases} x(t)&=a\cos(t),\quad\\ y(t)&=b\sin(t),\quad 0\leq t\leq 2\pi, \end{cases}\] sa longueur est \[\begin{aligned} L&=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}dt\\ &=4\int_0^{\pi/4}\sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}dt+ 4\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}dt\\ &=4\int_0^{\pi/4}\left( \sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}+ \sqrt{a^2\cos^2(t)+b^2\sin^2(t)}\right) dt \end{aligned}\] où l’on a effectué le changement \(t=\pi/2-s\) dans la seconde intégrale de la seconde ligne. Pour conclure, il suffit de remarquer que l’intégrande dans la dernière intégrale est une fonction croissante sur \([0,\pi/4]\).

2. Nous avons

   \[\begin{aligned} L&=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}dt\\ &=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2+(a^2-b^2)\cos^2(t)}dt\\ &=4a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\mathbf{e^2}\cos^2(t)}dt \end{aligned}\] Nous avons pour \(\vert u\vert<1\) \[\sqrt{1-u}=1-\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(2n-3)!!}{(2n)!!}u^n.\] En posant \(u=\mathbf{e}\cos(t)\in]-1,1[\), on a par convergence normale de la série entière sur \([0,\pi/2]\) \[L=4a\left( \dfrac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(2n-3)!!}{(2n)!!}\mathbf{e}^{2n} \int_0^{\pi/2}\cos^{2n}(t)dt\right) ,\] où l’on reconnait l’intégrale de Wallis \[\int_0^{\pi/2}\cos^{2n}(t)dt=\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\dfrac{\pi}{2}\] le résultat suit.