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[ID: 2523] [Date de publication: 9 novembre 2022 11:18] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une suite associée à un polygône
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18

Un petit calcul nous donne \[S_n=n\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left( \dfrac{k\pi}{n}\right),\] et avec l’identité \(2\sin(a)\sin(b)=\cos(a-b)-\cos(a+b)\), on a \[2sin\left( \dfrac{\pi}{n}\right) \sum_{k=1}^{n-1}\sin\left( \dfrac{k\pi}{n}\right) =\cos(0)+\cos\left( \dfrac{\pi}{n}\right) -\cos\left( \dfrac{(n-1)\pi}{n}\right) -\cos\left( \dfrac{n\pi}{n}\right) =2(1+\cos\left( \dfrac{\pi}{n}\right)\] si bien que \[\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac{1+\cos\left( \dfrac{\pi}{n}\right) }{n\sin\left( \dfrac{\pi}{n}\right) }\] et le résultat suit