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[ID: 2521] [Date de publication: 9 novembre 2022 11:18] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

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Disposition de \(n\) points sur une sphère
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18

Notons \(P_i=(x_i,y_i,z_i),\ 1\leq i\leq n\) nos \(n\) points. Le carré de la distance entre \(P_i\) et \(P_j\) est \[\begin{aligned}(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2&=(x_i^2+y_i^2+z_i^2)+(x_j^2+y_j^2+z_j^2)-2(x_ix_j+y_iy_j+z_iz_j)\\ &=2-2(x_ix_j+y_iy_j+z_iz_j). \end{aligned}\] Et notre somme vaut donc \[\sum_{1\leq i<j\leq n}2-2(x_ix_j+y_iy_j+z_iz_j)=n(n-1)-2\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_ix_j+y_iy_j+z_iz_j).{\text{($\star$)}}\] Maintenant puisque \[(x_1+x_2+\dots+x_n)^2=\sum_{i=1}^n x_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j\] on peut écrire \[\begin{aligned} 2\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_ix_j+y_iy_j+z_iz_j)&= (x_1+\dots+x_n)^2+(y_1+\dots+y_n)^2+(z_1+\dots+z_n)^2 -\sum_{i=1}^n(x_i^2+y_i^2+z_i^2)\\ &=(x_1+\dots+x_n)^2+(y_1+\dots+y_n)^2+(z_1+\dots+z_n)^2 -n\\ &:=X^2+Y^2+Z^2-n\end{aligned}\] soit, en reportant dans (\(\star\)) \[\sum_{1\leq i<j\leq n}P_iP_j^2= n(n-1)-(X^2+Y^2+Z^2-n)=n^2-X^2-Y^2-Z^2\leq n^2\] CQFD