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[ID: 2517] [Date de publication: 9 novembre 2022 11:18] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Coniques : le théorème de Joachimsthal
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18

L’ellipse est paramétrée par \(\displaystyle\begin{cases} x=a\cos(\theta)\\y=b\sin(\theta)\end{cases}\) et soit \(x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\gamma=0\) l’équation de \(\mathscr C\). Ainsi

\[\begin{aligned} M_\theta= {\begin{pmatrix}a\cos(\theta)\\b\sin(\theta)\end{pmatrix}}\in\mathscr E\cap\mathscr C &\iff a^2\cos^2(\theta)+b^2\sin^2(\theta)-2\alpha a\cos(\theta)-2\beta b\sin(\theta)+\gamma =0&\\ &\iff Q(e^{i\theta}):=e^{4i\theta}\left({{a^2-b^2}\over 4}\right)+e^{3i\theta}\left(ib\beta-a\alpha\right)+e^{2i\theta}\left(\gamma+{a^2\over 2}+{b^2\over 2}\right)\\ &\hspace{64mm}-e^{i\theta}\left( a\alpha+b\beta\right)+{{a^2-b^2}\over 4=0, }\end{aligned}\]

en d’autres termes, \(M_\theta \in\mathscr E\cap\mathscr C\iff Q(e^{i\theta})=0\), et à nos quatre points d’intersection correspondent quatre racines \(e^{i\theta_k},\,1\leq k\leq 4\) du polynôme \(Q\). Or, les coefficients dominant et constant de \(Q\) sont égaux : le produit de ses racines vaut \(1\) i.e. \[1=e^{i\theta_1}\dots e^{i\theta_4}=e^{i(\theta_1+\dots+\theta_4)}\Longrightarrow \theta_1+\dots+\theta_4\equiv 0(2\pi)\]

Remarques : -il s’agit du théorème de Joachimsthal.

-Il existe surement une explication géométrique claire de ce phénomène, cette démonstration ne la met pas en valeur, une autre serait la bienvenue.