Soit \(ABC\) un triangle propre du plan affine euclidien et \(\mathscr S\) son aire. Établir l’inégalité

\[a^2+b^2+c^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4\mathscr S\sqrt 3\quad\text{(Hadwiger-Finsler (1937))}\]

Cas d’égalité ?


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[ID: 2515] [Date de publication: 9 novembre 2022 11:18] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Inégalités dans un triangle (2)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18

Désignons par \(p\) le demi-périmètre du triangle (\(2p=a+b+c\)) et posons \(x=p-a\), \(y=p-b\), \(z=p-c\), on vérifie alors facilement que \[\begin{cases} a^2-(b-c)^2&= (a-b+c)(a+b-c)=4yz\\ b^2-(c-a)^2&= (b-c+a)(b+c-a)=4xz\\ c^2-(b-a)^2&= (c-a+b)(c+a-b)=4xy\\ \end{cases}\]

si bien que l’inéquation demandée est équivalente à

\[xy+xz+zy\geq \mathscr S\sqrt 3{(\bigstar)}\]

en élevant au carré et en utilisant la formule de Héron

\[\mathscr S^2=(x+y+z)xyz\] on est amené à vérifier

\[(xy+xz+yz)^2\geq 3(x+y+z)xyz\]

soit, après développement

\[(\bigstar)\quad\iff\quad x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\geq x^2yz+xy^2z+xyz^2\]

pour vérifier cette dernière inégalité il suffit d’appliquer celle de Cauchy-Schwarz aux vecteurs \(u=(xy,yz,zx)\) et \(v=(yz,zx,xy)\), en effet

\[\begin{aligned} \vert\langle u,v\rangle\vert\leq \Vert u\Vert\,\Vert v\Vert \quad &\iff\quad \langle u,v\rangle^2\leq \Vert u\Vert^2\,\Vert v\Vert^2 \\ &\iff\quad x^2yz+xy^2z+xyz^2\leq x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2 \end{aligned}\]

Et par Cauchy-Schwarz (cas d’égalité), l’égalité a lieu si et seulement si les vecteurs \(u\) et \(v\) sont colinéaires i.e. \(x=y=z\) configuration qui correspond à un triangle \(ABC\) équilatéral.


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