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Inégalités dans un triangle (1)
R. Honsberger Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA 1995 ; voir aussi http://www.les-mathematiques.net
Soit \(ABC\) un triangle propre du plan affine euclidien et trois points \(D, E,F\) respectivement sur \([BC],[CA]\) et \([AB]\) tels que \((AD),(BE)\) et \((CF)\) soient sécantes en un point \(P\) intérieur au triangle \(ABC\). Montrer que
\[6\leq {AP\over PD}+{BP\over PE}+{CP\over PF}\quad\&\quad 8\leq {AP\over PD}{BP\over PE}{CP\over PF} .\]
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[ID: 2513] [Date de publication: 9 novembre 2022 11:18] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Inégalités dans un triangle (1)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18
Posons \(a={AP\over PD},b={BP\over PE},c={CP\over PF}\), \(P\) est alors le barycentre de \[\begin{cases} (A,1) \quad\text{et}\quad (D,a)\\ (B,1) \quad\text{et}\quad(E,b)\\ (C,1) \quad\text{et} \quad(F,c)\\ \end{cases}\] ou bien, \(x,y,z\) désignant les coordonnées barycentriques de \(P\) dans le repère \((A,B,C)\) :
\[\begin{cases} P \quad\text{est le barycentre de}\quad (A,x) \quad\text{et}\quad (D,y+z)\\ P \quad\text{est le barycentre de}\quad (B,y) \quad\text{et}\quad (E,z+x)\\ P \quad\text{est le barycentre de}\quad (C,z) \quad\text{et}\quad (F,x+y)\\ \end{cases}\] avec \[a={y+z\over x}, b={x+z\over y}, c={x+y\over z}\] si bien que
\[a+b+c = {x\over y}+{y\over x}+{x\over z}+{y\over z}+{z\over x}+{z\over y}\]
et de l’inégalité classique \(u+{1\over u}\geq 2,\ (\forall\,u>0)\), résulte la première inégalité à établir à savoir : \[a+b+c\geq 6.\]
Pour la seconde, on utilise l’inégalité \(x+y\geq 2\sqrt{xy},\ (\forall\,x,y\geq 0)\) :
\[\begin{aligned} abc &= {y+z\over x}{x+z\over y}{x+y\over z}\\ &\geq 8{{\sqrt{yz\times xz\times xy}}\over xyz}=8. \end{aligned}\]
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