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[ID: 2509] [Date de publication: 9 novembre 2022 11:17] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

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Optimisation dans un triangle
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 11:18

Si on note \(S\) l’aire du triangle, \(a,b,c\) les longueurs de ses cotés, nous avons¹ \[h_1=\dfrac{2S}{a},\quad h_2=\dfrac{2S}{b},\quad h_3=\dfrac{2S}{c},\quad\rho=\dfrac{S}{p}\ \text{ où }\ 2p=a+b+c.\] Ainsi \[\dfrac{h_1+h_2+h_3}{\rho}=(a+b+c)\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) = 3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b},\] et comme il est bien connu que \(x+x^{-1}\geq 2\) sur \(\mathbb R_+^\star\) avec égalité si et seulement si \(x=1\), nous avons finalement \[\dfrac{h_1+h_2+h_3}{\rho}\geq 3+6 = 9.\] Le minimum est donc \(9\) et il est atteint si et seulement si le triangle est équilatéral.

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