Soient \([AB]\) et \([PQ]\) deux diamètres d’un cercle \(\mathcal{C}\). Par le point \(A\) on mène la parallèle à \((PQ)\) qui rencontre au point \(C\) le cercle et en \(I\) la droite joignant le point \(Q\) au symétrique \(P'\) de \(P\) par rapport à \((AB)\). Soit \(H\) le point de rencontre de la droite \((AQ)\) et de la perpendiculaire à \((AB)\) menée par le point \(I\). Montrer que les points \(P\), \(C\) et \(H\) sont alignés.


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[ID: 206] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:49] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 339
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:49

On choisit un repère orthonormé en sorte que \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -1\\0 \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\right.}\), \(P \underset{}{\left|\begin{matrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{matrix}\right.}\), \(Q \underset{}{\left|\begin{matrix} -\cos\theta \\ -\sin\theta \end{matrix}\right.}\), \(P' \underset{}{\left|\begin{matrix} \cos\theta \\ -\sin\theta \end{matrix}\right.}\). On cherche \(C\) sous la forme \(C = A + \lambda \overrightarrow{OP} \underset{}{\left|\begin{matrix} -1+\lambda \cos\theta \\ \lambda \sin\theta \end{matrix}\right.}\) avec \(\lambda\in\mathbb{R}\). Comme \(x_C^2 + y_C^2 = 1\), on trouve \(\lambda = 2\cos\theta\) et finalement \(\boxed{ C \underset{}{\left|\begin{matrix} \cos(2\theta) \\ \sin(2\theta) \end{matrix}\right.} }\).
On cherche ensuite les coordonnées de \(I = A + \lambda \overrightarrow{OP}\) avec \(y_I=-\sin\theta\) ce qui donne \(\lambda = -1\) et \(\boxed{ I \underset{}{\left|\begin{matrix} -(1+\cos\theta) \\ -\sin\theta \end{matrix}\right.} }\). Cherchons ensuite les coordonnées de \(H = A + \lambda\overrightarrow{QA}\). Puisque \(x_H = x_I\), on trouve que \(\lambda = \dfrac{\cos\theta}{ 1-\cos\theta}\) et ensuite \(\boxed{ H \underset{}{\left|\begin{matrix} -(1+\cos\theta) \\ \dfrac{\sin\theta \cos\theta}{1-\cos\theta} \end{matrix}\right.} }\). Puisque \[\overrightarrow{HQ} \underset{}{\left|\begin{matrix} \cos\theta(2\cos\theta + 1) \\ \sin\theta \cos\theta \dfrac{1-2\cos\theta}{1-\cos\theta} \end{matrix}\right.} \quad \overrightarrow{HP} \underset{}{\left|\begin{matrix} 2\cos\theta + 1\\ \sin\theta \dfrac{1-2\cos\theta}{ 1-\cos\theta} \end{matrix}\right.}\] on voit que ces deux vecteurs sont colinéaires et donc les trois points \(P\), \(Q\), \(H\) sont alignés.


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