Par le sommet \(A\) d’un carré \(ABCD\), on mène une droite qui rencontre la droite \((BC)\) en \(E\) et la droite \(\left(CD\right)\) en \(F\). Démontrer que la droite qui joint le point \(F\) au milieu \(I\) du segment \([BE]\) est tangente au cercle inscrit au carré et rencontre la droite \((DE)\) en un point \(M\) situé sur le cercle circonscrit au carré.


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[ID: 202] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:49] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 25
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:49

On considère le repère orthonormé d’origine le centre du carré et d’axes parallèles aux axes du carré. Alors \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -a\\-a \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\-a \end{matrix}\right.}\), \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\a \end{matrix}\right.}\), \(D \underset{}{\left|\begin{matrix} -a\\a \end{matrix}\right.}\). On considère la droite qui passe par \(A,E,F\). En notant \(m\) sa pente, son équation cartésienne est \(y+a = m(x+a)\). On en déduit les coordonnées de \(\boxed{ E \underset{}{\left|\begin{matrix} a \\ (2m-1)a \end{matrix}\right.} }\) et \(\boxed{ F \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{a(2-m)}{m} \\ a \end{matrix}\right.} }\). Puis les coordonnées de \(\boxed{ I \underset{}{\left|\begin{matrix} a \\ (m-1)a \end{matrix}\right.} }\). Ensuite l’équation cartésienne de la droite \((FI)\) : \[\boxed{ (FI)~: m(m-2)x + 2(1-m)y + a(m^2 - 2m + 2) = 0 }\] On calcule la distance de l’origine à cette droite : \[d(O, (FI)) = \dfrac{a\lvert m^2-2m+2 \rvert }{\sqrt{m^2(m-2)^2 + 4(m-1)^2}}\] mais comme \((m^2-2m+2)^2 = m^2(m-2)^2+4(1-m)^2 = m^4 - 4m^3 + 8m^2-8m + 4\), on trouve que cette distance vaut \(a\) et par conséquent, la droite \((FI)\) est bien tangente au cercle inscrit dans le carré. Cherchons ensuite les coordonnées du point \(M\). \(\boxed{ \overrightarrow{DE} \underset{}{\left|\begin{matrix} 2a \\ 2(m-1)a \end{matrix}\right.} }\), \(M = D + \lambda \overrightarrow{DE}\) d’où si \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\), \[\begin{cases} x &= (2\lambda - 1)a \\ y &= [1 + 2(m-1)\lambda] \end{cases}\] Comme \(M \in (FI)\), on tire \(\lambda = - \dfrac{m^2-2}{m^2-2m+2}\) et ensuite \[\boxed{ M \underset{}{\left|\begin{matrix} - \dfrac{a(m^2-2)}{m^2 - 2m + 2} \\ - \dfrac{a(m^2-4m+2)}{m^2-2m+2} \end{matrix}\right.} }\] On vérifie ensuite que \(d(O, M)^2 = 2a^2\).


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