Soit \(M\) un point et \(\mathscr C\) un cercle de centre \(O\). Une droite \(\Delta\) passant par \(M\) coupe \(\mathscr C\) en deux points \(A\) et \(B\), éventuellement confondus si \(\Delta\) est tangente à \(\mathscr C\).

Démontrer que \(\overline{MA}.\overline{MB}\) ne dépend pas de la droite \(\Delta\) choisie.


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[ID: 198] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:49] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Puissance d’un point par rapport à un cercle
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:49

(-24.33,-12.22)(26.7,14.11) (0,0)1.8 (-22.53,-2.2)(14.27,10.19) (14.29,-4.29)(-22.44,0.91) (6.53,7.59)(-9.98,-0.85) (-9.79,2.09)(9.35,-3.59) (-16,0) (-16,0)\(M\) (9.35,-3.59) (9.35,-3.59)\(B'\) (-9.98,-0.85) (-9.98,-0.85)\(A'\) (6.53,7.59) (6.53,7.59)\(B\) (-9.79,2.09) (-9.79,2.09)\(A\) (0,0) (0,0)\(O\)

Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). \[\begin{aligned} \overline{MA}.\overline{MB} &= \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} \\ &= \left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right).\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right) \\ &= MI^2 + \overrightarrow{MI}.\left( \underbrace{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}}_{\vec0}\right)+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ &= MI^2-IA^2\end{aligned}\] Maintenant, comme \((OI)\) est la médiatrice de \([AB]\), on a : \(MI^2 = MO^2 + IO^2\) et \(IA^2 = OI^2 +OA^2\). D’où \(\overline{MA}.\overline{MB} = MO^2 + IO^2-(OI^2 +OA^2) = MO^2 - R^2\).

Ce nombre s’appelle la puissance du point \(M\) par rapport au cercle \(\mathscr C\).

Rappelons la méthode utilisée en classe de seconde  :
Les triangles \(MBA'\) et \(MAB'\) sont semblables. En effet ils ont l’angle \(\widehat{AMA'}\) en commun. De plus les angles \(\widehat{MBA'}\) et \(\widehat{MB'A}\) sont inscrits dans le même cercle et interceptent le même arc \(\overset{\displaystyle\frown}{A'A}\). Ils sont donc égaux.
On en déduit : \[\dfrac{MA'}{MA} = \dfrac{MB}{MB'} \quad\textrm{ d'où } MA.MB = MA'.MB'.\] L’inconvénient de cette méthode est qu’il faut distinguer tous les cas de figure : \(M\) à l’intérieur, à l’extérieur, sur le cercle \(\mathscr C\). Triangles aplatis, etc.


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