On considère deux cercles \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\). Déterminer le lieu du milieu des points \(M \in \mathcal{C}\) et \(M' \in \mathcal{C}'\) tels que les tangentes aux cercles en \(M\) et \(M'\) soient orthogonales.


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[ID: 196] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:49] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 175
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:49

Considérons le repère d’origine le centre du premier cercle et tel que le centre du deuxième cercle soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \end{matrix}\right.}\). L’équation des deux cercles est alors : \[\begin{cases} \mathcal{C}: & x^2 + y^2 = r^2 \\ \mathcal{C}':& (x-a)^2 + y^2 = R^2 \end{cases}\] le point \(M\) est d’affixe \(z = re^{i\theta}\) et le point \(M'\) d’affixe \(z' = a + Re^{i\theta'}\). Les tangentes en \(M\) et \(M'\) sont dirigées par les vecteurs \(\overrightarrow{u} \underset{}{\left|\begin{matrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{matrix}\right.}\) et \(\overrightarrow{u'} \underset{}{\left|\begin{matrix} -\sin\theta' \\ \cos\theta' \end{matrix}\right.}\). Les tangentes sont orthogonales si et seulement si \[\sin\theta \sin\theta' + \cos\theta\cos\theta' = \sin(\theta + \theta') = 0\] c’est-à-dire \(\theta' = k\pi - \theta~\left[2\pi\right]\). Alors le milieu de \([MM']\) a pour affixe : \[Z = \dfrac{1}{2}\bigl[ a + re^{i\theta} + Re^{i(k\pi - \theta)} \bigr] = \dfrac{a}{2} + \bigl[\dfrac{r + i\varepsilon R}{2}\bigr] e^{i\theta} = \dfrac{a}{2} + \rho e^{i(\alpha + \theta)}\]\(\varepsilon= \pm 1\) et \[\bigl( \dfrac{r + i\varepsilon R}{2}\bigr) = \rho e^{i\alpha}\] Lorsque \(\theta\) varie entre \(0\) et \(2\pi\), le point \(P\) décrit le cercle de centre \(\underset{}{\left|\begin{matrix} a/2 \\ 0 \end{matrix}\right.}\) (milieu des centres des deux cercles) et de rayon \(\rho = \dfrac{1}{2}\sqrt{r^2 + R^2}\).


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