Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R} = (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), on considère un triangle \((ABC)\) avec \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} b\\0 \end{matrix}\right.}\) et \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} c\\0 \end{matrix}\right.}\), (\(a, b, c \neq 0\) et \(b\neq c\)).

  1. Déterminer l’équation du cercle \(\mathcal{C}\) circonscrit au triangle \((ABC)\).

  2. Écrire l’équation cartésienne de la droite \((AB)\) et donner un vecteur \(\overrightarrow{n_1}\) normal à cette droite.

  3. Écrire l’équation cartésienne de la droite \((AC)\) et donner un vecteur \(\overrightarrow{n_2}\) normal à cette droite.

  4. On considère un point \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x_0\\ y_0 \end{matrix}\right.}\) du plan. On note \(A'\) le projeté orthogonal du point \(M\) sur la droite \((BC)\), \(B'\) le projeté orthogonal de \(M\) sur la droite \((AC)\) et \(C'\) le projeté orthogonal de \(M\) sur la droite \((AB)\). Trouver les coordonnées des points \(A'\), \(B'\), \(C'\).

  5. Montrer que les points \(A'\), \(B'\), \(C'\) sont alignés si et seulement si le point \(M\) se trouve sur le cercle \(\mathcal{C}\). Dans ce cas, la droite portant les points \(A'\), \(B'\) , \(C'\) et \(M\) est la droite de Simson du triangle \(ABC\).


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[ID: 194] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:49] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Droite de Simson d’un triangle
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:49
  1. L’équation d’un cercle est de la forme \(x^2+y^2+\alpha x+ \beta y + \gamma = 0\). En traduisant que \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} b\\0 \end{matrix}\right.}\), \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} c\\0 \end{matrix}\right.}\) sont sur le cercle, on trouve le système \[\begin{cases} a\beta + \gamma &= -a^2 \\ b\alpha + \gamma &= -b^2 \\ c\alpha + \gamma &= -c^2 \end{cases}\] En résolvant, on en tire \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et l’équation du cercle : \[\boxed{ \mathcal{C}~: x^2 + y^2 - (b+c)x - \dfrac{a^2+bc}{a} y + bc = 0 }\]

  2. Si \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x_0\\y_0 \end{matrix}\right.}\), en notant \(A'\) le projeté de \(M_0\) sur \((BC)\), on a \(\boxed{A' \underset{}{\left|\begin{matrix} x_0\\0 \end{matrix}\right.}}\). La droite \((AC)\) a pour équation cartésienne : \[(AC)~: ax + cy - ac = 0\] et un vecteur normal à cette droite est \(\overrightarrow{n_1} \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\c \end{matrix}\right.}\). La droite \((AB)\) a pour équation cartésienne \[(AB)~: ax + by - ab = 0\] et un vecteur normal à cette droite est \(\overrightarrow{n_2} \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\b \end{matrix}\right.}\).

  3. Par un calcul d’intersection (\(B' = M_0 + \lambda \overrightarrow{n_1}\)) et \(B' \in (AC)\), on trouve que \(\boxed{B' \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(cx_0-ay_0+a^2)}{a^2+c^2} \\ \dfrac{a(-cx_0+ay_0+c^2)}{a^2+c^2} \end{matrix}\right.}}\).
    De même, en notant \(C'\) le projeté orthogonal de \(M_0\) sur \((AB)\), on trouve que \(\boxed{ C' \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{b(bx_0-ay_0+a^2)}{a^2+c^2} \\ \dfrac{a(-bx_0+ay_0+b^2)}{a^2+b^2} \end{matrix}\right.} }\)

  4. Les trois points \(A', B', C'\) sont alignés si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'}) = 0\), c’est-à-dire si et seulement si après calculs : \[x_0^2 + y_0^2 - (b+c)x_0 - \dfrac{a^2+bc}{a} y_0 + bc = 0\] c’est-à-dire si et seulement si le point \(M\) est sur le cercle circonscrit au triangle \((ABC)\).


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