On considère le point \(B=(a,0)\) du plan et un cercle \(\mathcal{C}\) passant par \(B\) de centre \(P=(x_0,y_0)\).

  1. Écrire l’équation de \(\mathcal{C}\).

  2. On considère une droite passant par \(O\) d’équation \[y=mx\] Écrire une condition nécessaire et suffisante sur \(m\) pour que cette droite soit tangente à \(\mathcal{C}\).

  3. Trouver l’ensemble des points \(P\) tels que les deux tangentes à \(\mathcal{C}\) passant par l’origine soient orthogonales.


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[ID: 192] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:48] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 295
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:48
  1. \[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = (x_0-a)^2 + y_0^2\]

  2. Cette droite est tangente au cercle si et seulement si \(d(P,\mathcal{D}) = R\), ce qui donne \[\dfrac{\lvert y_0-mx_0 \rvert }{\sqrt{1+m^2}}=(x_0-a)^2 + y_0^2\] On trouve la condition \[[a^2+y_0^2-2ax_0]m^2 - 2x^0y_0m + (x_0-a)^2 = 0\]

  3. Les deux pentes \(m_1\), \(m_2\) doivent vérifier \(m_1m_2=1\), c’est-à-dire puisqu’elles sont racines d’une équation du second degré : \[\dfrac{(x_0-a)^2}{a^2+y_0^2-2am_0} = -1\] Après développement, on trouve \(x_0^2 = y_0^2\) d’où \[(x_0-2a)^2 + y_0^2 = 2a^2\] C’est le cercle de centre \((2a,0)\) de rayon \(\sqrt{2}a\).


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