Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\). On considère le point \(A=(a,a)\) (\(a>0\)).

  1. On considère la famille des cercles \(\mathcal{C}_t\) passant par \(A\) et \(O\). On désigne par \(t\) l’abscisse du centre de \(\mathcal{C}_t\). Former l’équation cartésienne de \(\mathcal{C}_t\).

  2. Le cercle \(\mathcal{C}_t\) coupe la droite \((Ox)\) en \(O\) et un second point \(K_t\). Former l’équation cartésienne de la tangente \(D_t\) à \(\mathcal{C}_t\) en \(K_t\).

  3. Déterminer en fonction de \(t\) l’équation cartésienne de la normale à \(D_t\) passant par \(A\) puis les coordonnées de la projection orthogonale \(H_t\) de \(A\) sur \(D_t\).

  4. Reconnaître l’ensemble des points \(H_t\) lorsque \(t\) varie.


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[ID: 190] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:48] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 847
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:48
  1. Comme \(d(C_t,0) = d(C_t,A)\), on trouve \[(\mathcal{C}_t : x^2 + y^2 - 2tx + 2(t-a)y = 0\] On aurait pu partir également d’une équation cartésienne générale d’un cercle passant par \(O\) : \[x^2 + y^2 + 2\alpha x + 2\beta y = 0\] et dire que le point \(A\) appartenait à ce cercle.

  2. \(K_t \underset{}{\left|\begin{matrix} 2t\\0 \end{matrix}\right.}\), \(C_t \underset{}{\left|\begin{matrix} t\\a-t \end{matrix}\right.}\), d’où l’équation cartésienne de la tangente : \({\overrightarrow{C_tK_t}}\cdot{\overrightarrow{K_tM}}=0\) : \[tX + (t-a) Y - 2t^2 = 0\]

  3. Le vecteur \(n_t \underset{}{\left|\begin{matrix} t\\t-a \end{matrix}\right.}\) est orthogonal à la droite \(\mathcal{D}_t\). On écrit \[\begin{vmatrix}X-a & t \\ Y-a & t-a\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow (t-a)(X-a) - t(Y-a) = 0.\] On trouve \[H_t \underset{}{\left|\begin{matrix} t+a \\ t \end{matrix}\right.}\]

  4. C’est la droite d’équation \(y=x-a\).


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