Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, pour \(\lambda > 0\), on note \(\mathcal{C}_{\lambda}\) le cercle de centre \(\underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ 0 \end{matrix}\right.}\) tangent à l’axe \((Oy)\) et \(\Gamma_{\lambda}\) le cercle de centre \(\underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ \lambda \end{matrix}\right.}\) tangent à l’axe \((Ox)\). Déterminer les coordonnées des deux points d’intersection de ces cercles, puis le lieu de ces points lorsque \(\lambda\) varie.


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[ID: 188] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:48] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 488
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:48

\[\mathcal{C}_{\lambda}~: (x-\lambda)^2 + y^2 = \lambda^2\] \[\Gamma_{\lambda}~: (x-\lambda)^2 + (y-\lambda)^2 = \lambda^2\] Un point \(P \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) appartient à ces deux cercles si ses coordonnées vérifient les deux équations. En formant la différence des deux équations, on tire \(y = \lambda /2\). En reportant dans la première équation, on trouve \[4x^2 - 8\lambda x + \lambda^2 = 0\] d’où \(x_1 = \dfrac{(2+\sqrt{3})\lambda}{2}\) et \(x_2 = \dfrac{(2-\sqrt{3})\lambda}{2}\). d’où \(P_{\lambda} \dfrac{\lambda}{2} \underset{}{\left|\begin{matrix} 2+\sqrt{3}\\1 \end{matrix}\right.}\) et \(Q_{\lambda} \dfrac{\lambda}{2} \underset{}{\left|\begin{matrix} 2-\sqrt{3}\\1 \end{matrix}\right.}\). Les points décrivent les droites d’équations \(y = (2+\sqrt{3})x\) et \(y = (2-\sqrt{3})x\).


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