Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère deux points \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 3\\-1 \end{matrix}\right.}\).

  1. Écrire l’équation cartésienne de la droite \((AB)\).

  2. On considère le cercle d’équation : \[x^2 + y^2 - 8x -10y + 37 = 0\] Déterminer la distance entre la droite \((AB)\) et ce cercle.


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[ID: 186] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:48] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 989
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:48
  1. On trouve \(\boxed{\mathcal{D}:~ x + y - 2 = 0}\).

  2. L’équation cartésienne réduite du cercle est \[(x-4)^2 + (y-5)^2 = 4\] C’est donc le cercle de centre \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix}\right.}\) et de rayon \(2\). La distance du centre \(\Omega\) à la droite \((AB)\) est donnée par : \[d(\Omega, \mathcal{D}) = \dfrac{\lvert 4 + 5 - 2 \rvert }{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{7}{\sqrt{2}}.\] La distance du cercle à la droite est donc \[\boxed{ d(\mathcal{D}, \mathcal{D}) = d(\Omega, \mathcal{D}) - R = \dfrac{7 - 2\sqrt{2}}{2} > 0}\]


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