Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, déterminer les droites passant par l’origine, orthogonales et tangentes à un cercle de centre \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 2\\1 \end{matrix}\right.}\).


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[ID: 184] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:48] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 530
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:48

Les équations de deux droites passant par l’origine sont de la forme \(y= mx\) et \(y=m'x\). Pour que ces deux droites soient orthogonales, il faut que \(1 + mm' = 0\), c’est-à-dire \(m' = -1/m\) (\(m=0\) ou \(m'=0\) correspondrait aux deux axes qui ne sont pas solution du problème). Un cercle de centre \(\Omega\) est tangent à ces deux droites si et seulement si \(d^2(\Omega, \mathcal{D}_m) = d^2(\Omega, \mathcal{D}_{-1/m})\) ce qu’on traduit par \(\dfrac{(2m-1)^2}{m^2+1} = \dfrac{(2+m)^2}{m^2+1}\), c’est-à-dire \(3m^2-8m-3=0\), trinôme qui possède les deux racines \(m_1=3\) et \(m_2=-1/3\). Les deux droites solutions sont de pente \(3\) et \(-1/3\).


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