On considère le cercle d’équation \[\mathcal{C}:~ x^2 + y^2 + 4x - 6y - 17 = 0\] et la droite d’équation \[\mathcal{D}:~ 5x+2y-13 = 0\] Trouver l’équation cartésienne du diamètre de \(\mathcal{C}\) perpendiculaire à la droite \(\mathcal{D}\).


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[ID: 174] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:48] [Catégorie(s): Cercle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 395
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:48

Le cercle \(\mathcal{C}\) a pour centre \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} -2\\3 \end{matrix}\right.}\) et pour rayon \(R = \sqrt{30}\). Le diamètre passe par \(\Omega\) et celui recherché ne peut être verticale car il est perpendiculaire à \(\mathcal D\). Il a donc pour équation cartésienne \(y-3=m(x+2)\), c’est-à-dire \[\mathcal{D}_m~: mx - y + (3+2m) = 0\] Un vecteur normal à \(\mathcal{D}_m\) est \(\overrightarrow{n_m} \underset{}{\left|\begin{matrix} m \\ -1 \end{matrix}\right.}\) et un vecteur normal à \(\mathcal{D}\) est \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} 5\\2 \end{matrix}\right.}\). Pour que les deux droites soient perpendiculaires, il faut et il suffit que \(\overrightarrow{n_m} . \overrightarrow{n} = 0\), c’est-à-dire \(m = 2/5\). On trouve donc l’équation du diamètre : \[\boxed{2x-5y+19=0}\]


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