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[ID: 2507] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur les racines multiples du polynôme dérivé
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

Soit \(P\) un tel polynôme de degré \(d\geq 1\), soient \(a_1<\dots<a_r\) les racines distinctes de \(P\) de multiplicité respective \(\alpha_1,\dots,\alpha_r\), \(a_i\) est donc racine d’ordre \(\alpha_i-1\) de \(P'\) ; par Rolle \(P'\) admet une nouvelle racine \(b_i\) sur chaque intervalle \(]a_i,a_{i+1}[\) (\(1\leq i\leq r-1\)) si bien que nous avons déja \(\sum_{i=1}^r (\alpha_i-1)+r-1\) racines pour \(P'\) qui est de degré \(d-1\). Soit \[d-1\geq \sum_{i=1}^r (\alpha_i-1)+r-1= \sum_{i=1}^r \alpha_i -r+r-1=d-1\] d’où l’égalité et \(P'\) ne peut donc avoir d’autres racines ; les \(b_i\) sont donc racines simples et les éventuelles racines multiples de \(P'\) sont parmi celles de \(P\).