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[ID: 2505] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Un polynôme de degré \(6\) et un peu de géométrie
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

1. Supposons, sans perdre de généralité, que le point \(A_2\) est l’origine. Le polynôme peut s’écrire alors sous la forme \[P(x)=(a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)x^2+a_5x.\] L’équation \(y=a_5x\) est donc celle de la tangente à la courbe à l’origine et détermine le segment \(A_1A_3\). Vu l’hypothèse, les abcisses des points \(A_1\) et \(A_3\) sont respectivement \(a\) et \(-a\) avec \(a>0\) : les réels \(a\) et \(-a\) sont racines doubles du polynôme \(a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4\) soit \(a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=a_0(x^2-a^2)^2\) et \[P(x)=a_0(x^2-a^2)^2x^2+a_5x.\] L’égalité des aires est alors conséquence de l’égalité (par parité de \(x\mapsto a_0(x^2-a^2)^2x^2\)) des intégrales \[\int_{-a}^0a_0(x^2-a^2)^2x^2dx=\int_0^aa_0(x^2-a^2)^2x^2dx.\]

2. Toujours sans perdre de généralité, supposons \(a_0=1\), comme dans la situation précédente, notre polynôme peut s’écrire sous la forme \[P(x)=(x-a)^2(x-b)^2x^2+a_5x.\] (avec (c’est Thalés...) \(b=k a,\ 0<k<\infty\)). Les aires des deux domaines sont respectivement \[\int_{-a}^0 (x-a)^2(x-b)^2x^2 dx = \dfrac{a^7}{210}(7k^2+7k+2)\] et \[\int_0^b (x-a)^2(x-b)^2x^2 dx = \dfrac{a^7}{210}(2k^2+7k+7)\] si bien que \[K=k^5\dfrac{2k^2+7k+7}{7k^2+7k+2}:=k^5f(k).\] La dérivée de \(f\) étant négative sur \(]0,+\infty[\), \(f\) décroit de \(7/2\) à \(2/7\) et l’inégalité désirée en découle immédiatement.