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[ID: 2503] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Racines de \(P(z)\) et de \(2zP'(z)-dP(z)\)
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

Il est suffisant de supposer que le coefficient dominant de \(P\) est \(1\) . De la décomposition \(P(z)=(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\dots(z-\alpha_d)\) avec \(\vert\alpha_j\vert=1\), un calcul élémentaire nous donne \[Q(z)= 2zP'(z)-dP(z)=(z+\alpha_1)(z-\alpha_2)\dots(z-\alpha_d)+\dots+ (z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\dots(z+\alpha_d)\] soit \[\dfrac{Q(z)}{P(z)}=\sum_{k=1}^d\dfrac{z+\alpha_k}{z-\alpha_k},\] puis \[\begin{aligned}\rm{re}\left( \dfrac{Q(z)}{P(z)}\right) &=\sum_{k=1}^d\left( \dfrac{z+\alpha_k}{z-\alpha_k}\right)\\ &=\sum_{k=1}^d\dfrac{\vert z\vert^2-\vert\alpha_k\vert^2}{\vert z-\alpha_k\vert^2} =\sum_{k=1}^d\dfrac{\vert z\vert^2-1}{\vert z-\alpha_k\vert^2}. \end{aligned}\] Ainsi \[\left( \vert z\vert\neq 1\right) \Longrightarrow \left( \rm{re} \left( \dfrac{Q(z)}{P(z)}\right)\neq 1\right)\] soit \(Q(z)=0\ \Rightarrow\ \vert z\vert=1\) et le résultat suit.