Soit \(P(x)=x^2-1\), déterminer le nombre de racines réelles distinctes de l’équation \[\begin{matrix}\underbrace{P(P(\dots(P}&(x))))=0.\\ {2005}&\end{matrix}\]


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[ID: 2501] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Nombre de racines réelles du \(2005\)-ième itéré de \(P(x)=x^2-1\)
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

Posons pour tout \(n\in\mathbb N^\star\) : \[\begin{matrix}P_n(x)=&\underbrace{P(P(\dots(P}&(x))))\\ &{n}&\end{matrix}.\]

-Comme \(P_1(x)=x^2-1\geq -1\) sur \(\mathbb R\), nous avons pour tout \(x\in\mathbb R\) : \(P_{n+1}(x)=P_1(P_n(x))\geq -1\) et l’équation \(P_n(x)=a\) n’admet pas de solution pour tout \(a<-1\).

-Montrons que l’équation \(P_n(x)=a\) admet exactement deux racines réelles distinctes pour tout \(a>0\). Pour cela, procédons par récurrence sur \(n\geq 1\) : pour \(n=1\) c’est clair. Supposons l’assertion vraie au rang \(n\), \(P_{n+1}(x)=a\) équivaut à \(P_1(P_n(x))=a\) qui implique \(P_n(x)=-\sqrt{a+1}\) ou \(P_n(x)=\sqrt{a+1}\) ; l’équation \(P_n(x)=\sqrt{a+1}>1\) admet exactement deux solutions distinctes par hypothèse de récurrence ; l’équation \(P_n(x)=-\sqrt{a+1}\) est sans solutions réelles puisque \(- \sqrt{a+1}<-1\). Ainsi l’équation \(P_n(x)=a\) admet exactement deux racines réelles distinctes pour tout \(a>0\).

-Nous allons maintenant montrer que l’équation \(P_n(x)=0\) admet exactement \(n+1\) solutions réelles distinctes. On procède à nouveau par récurrence sur \(n\). Si \(n=1\) les solutions sont \(\pm 1\) et si \(n=2\) : \(0\) et \(\pm\sqrt{2}\). Supposons l’assertion vraie au rang \(n\geq 3\). Comme on peut écrire \(P_{n+2}(x)=P_2(P_n(x))=P_n^2(x)(P_n^2(x)-2)\), l’ensemble des solutions réelles de l’équation \(P_{n+2}(x)=0\) est exactement la réunion des racines réelles de équations \(P_n(x)=0,\ P_n(x)=\sqrt{2}\) et \(P_n(x)=-\sqrt{2}\). Vu l’hypothèse de récurrence l’équation \(P_n(x)=0\) admet \(n+1\) racines réelles distinctes et les deux premières étapes nous assurent que les équations \(P_n(x)=\sqrt{2}>0\) et \(P_n(x)=-\sqrt{2}<-1\) admettent respectivement \(2\) et \(0\) racines réelles ; ces trois ensembles étant deux à deux disjoints, l’équation \(P_{n+2}(x)=0\) admet \(n+1+2=n+3\) solutions et l’assertion est bien établie.

En particulier l’équation \(P_{2005}(x)=0\) admet \(2006\) racines réelles distinctes.


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