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[ID: 2497] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une inégalité autour des polynômes
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

Considérons l’application \[f\ :\ (a_0,a_1,\dots,a_{2004})\in\mathbb C^{2005}\setminus{\{0_{\mathbb C^{2005}}\}}\mapsto f(a_0,a_1,\dots,a_{2004})=\dfrac{\vert P(1)-P'(1)+P(-1)+P'(-1)\vert}{\int_{-1}^1\vert P(t)\vert dt},\] où \(P(x)=a_0+a_1x+\dots+a_{2004}x^{2004}\in\mathbb C_{2004}[X]\).

-Il n’est pas difficile de vérifier que \(f\) est homogène de degré \(0\), i.e. \[f(ta_0,ta_1,\dots,ta_{2004})=f(a_0,a_1,\dots,a_{2004}),\quad\forall\,t\in\mathbb R^\star.\] -Le second point est que \(f\) est continue sur la sphère unité de \(\mathbb C^{2004}\) (c’est une fraction rationnelle en les variables \(a_0,a_1,\dots,a_{2004})\) dont le dénominateur \(\int_{-1}^1\vert P(t)\vert dt\) s’annule seulement si \(P=0\) i.e. \(a_0=a_1=\dots=a_{2004}=0\)).

Par compacité de la sphère unité, l’application continue \(f\) y est bornée (disons par \(C>0\)) et par homogénéité \(f\leq C\) sur \(\mathbb C^{2004}\setminus{\{0_{2004}\}}\). L’inégalité pour \(P=0\) étant une égalité, la démontration est terminée.

Avec \(P(x)=x^{2004}\) on vérifie sans peine que \(C\geq 4.10^6\).