Soit \(P\in\mathbb C[X]\) un polynôme, \(P'\) son polynôme dérivé. Il s’agit de montrer que les racines de \(P'\) sont dans l’enveloppe convexe des racines de \(P\) (théorème de Gauss-Lucas).

  1. Soient \(z_1,z_2,\dots,z_n\) vérifiant \[\exists\psi,\quad\forall\,j\in\{1,\dots,n\} \ :\quad z_j=\rho_je^{i\theta_j}\ \ \rm{avec}\ \ 0\leq\vert\theta_j\vert<\psi<\dfrac{\pi}{2}.\] (en d’autre terme les \(z_j\) sont à partie réelle strictement positive et l’angle sous lequel on les voit depuis l’origine est inférieur à \(2\psi\)) montrer que \[\vert z_1\dots z_n\vert^{1/n}\cos(\psi)\leq \dfrac{1}{n}\vert z_1+\dots +z_n\vert.{\text{($\star$)}}\]

  2. Soit \(P\in\mathbb C[z]\) et \(H\) l’enveloppe convexe de ses racines. Soient \(z\not\in H\) et \(2\psi\) l’angle sous lequel \(H\) est vu de \(z\) ; montrer que \[\left\vert \dfrac{a_n}{P(z)}\right\vert^{1/n}\leq \dfrac{1}{n\cos(\psi)} \left\vert \dfrac{P'(z)}{P(z)}\right\vert.{\text{($\star$)}}\]

  3. En déduire le théorème de Gauss-Lucas.

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[ID: 2495] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

  1. (\(\star\)) est une version complexe de l’inégalité arithmético-géométrique (en particulier, si les \(z_j\) sont réels on peut prendre \(\psi=0\) et on retombe sur l’inégalité arithmético-géométrique classique). On a vu les hypothèses sur les \(z_j\) et l’inégalité arithmético-géométrique \[\begin{aligned}\vert z_1+\dots+z_n\vert &\geq \vert \rm{Re}(z_1\dots+z_n)\vert\\ &=\vert z_1\vert\cos(\theta_1)+\dots+\vert z_n\vert\cos(\theta_n)\\ &\geq (\vert z_1\vert+\dots+\vert z_n\vert)\cos(\psi)\\ &\geq n \vert z_1\dots z_n\vert^{1/n}\cos(\psi)\end{aligned}\] soit (\(\star\)).

  2. Pour l’inégalité (\(\star\)) soient \(r_1,\dots,r_n\) les racines de \(P\) (comptées avec leur multiplicités) et \(z\not\in H\). En écrivant \(z-r_j:=\rho_je^{i\theta_j},\ (1\leq j\leq n)\) on a \[\dfrac{1}{z-r_j}=\rho_j^{-1}e^{-i\theta_j},\qquad 1\leq j\leq n.\] \(H\) étant inclu dans le cône \(\{re^{i\theta},\ \vert \theta\vert\leq \psi\}\) et \(z\not\in H\), nous pouvons appliquer (\(\star\)) à la famille \((\frac{1}{z-r_j})_1^n\) soit \[\cos(\psi)\left\vert \dfrac{1}{z-r_1}+\dots+\dfrac{1}{z-r_n}\right\vert^{1/n}\leq \dfrac{1}{n}\left\vert\sum_{j=1}^n\dfrac{1}{z-r_j}\right\vert\] soit (\(\star\)).

  3. Pour démontrer le théorème de Gauss-Lucas, on raisonne par l’absurde : soit \(z\) un racine de \(P'\) n’appartenant pas à \(H\), on a alors \(P'(z)=0\) et \(\displaystyle\left\vert\dfrac{a_n}{P(z)}\right\vert>0\) ce qui est absurde vu (\(\star\)) donc \(z\in H\).

    Remarque : L’inégalité (\(\star\)) est connue comme l’inégalité de Wilf.

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