Barre utilisateur

[ID: 2493] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Le théorème de Gauss-Lucas
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

On peut supposer \(P\) de degré \(d\geq 1\). Il existe des entiers \(1\leq n\leq d,\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb N\), des nombres complexes \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) deux à deux distincts et \(\lambda\in\mathbb C\) tels que \(\displaystyle P(X)=\lambda\prod_{j=1}^n(X-\lambda_j)^{\alpha_j}\) alors

\[{{P'(X)}\over {P(X)}}=\sum_{j=1}^n{{\alpha_j}\over{X-\lambda_j}}\]

et si \(z_0\) est une racine de \(P'\) distincte des racines de \(P\) (pour les autres il n’y a rien à démontrer)

\[\begin{aligned} {{P'(z_0)}\over {P(z_0)}}&=&\ 0&=&&\sum_{j=1}^n{{\alpha_j}\over{z_0-\lambda_j}}\\ \iff & &0&=&&\sum_{j=1}^n{{\alpha_j}\over{{\overline{z_0}}-{\overline{\lambda_j}}}}\\ \iff & &0&=&&\sum_{j=1}^n{{\alpha_j}\over{\vert z_0- \lambda_j\vert^2}}(z_0-\lambda_j) \end{aligned}\]

ainsi, \(z_0\) est le barycentre des \((\lambda_j)_1^n\) affectés des poids \({{\alpha_j}\over{\vert z_0- \lambda_j\vert^2}}\) : il est donc dans l’enveloppe convexe des zéros de \(P\).