Soient \(\mathbb K\) un corps commutatif, \(P,Q\in\mathbb K[X]\) deux polynômes non nuls de degrés respectifs \(n\) et \(m\). Montrer que la famille \(\mathscr F=\{P,XP,X^2P,\dots,X^{m-1}P,Q,XQ,\dots,X^{n-1}Q\}\) est libre dans \(\mathbb K[X]\) si et seulement si \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux.


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[ID: 2491] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Autour du résultant de deux polynômes
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

-Soit \(\alpha\) une racine commune aux deux polynômes \(P,Q\) : il existe alors deux polynômes non nuls \(P_0,Q_0\) tels que

\[P(X)=(X-\alpha)P_0(X) \quad\&\quad Q(X)=(X-\alpha)Q_0(X)\]

si bien qu’en posant \(U=Q_0,\ V=-P_0\) on a \[UP+VQ=0\] avec \[\text{deg}(U)=\text{deg}(Q)-1,\ \text{deg}(V)=\text{deg}(P)-1.\]

-Réciproquement, supposons qu’il existe deux polynômes non nul \(U,V\) tels que

\[\text{deg}(U)<\text{deg}(Q) \quad \&\quad \text{deg}(V)<\text{deg}(P)\] suite ?????????

-On appelle matrice de Sylvester, la matrice \(S(P,Q)\) dans la base canonique de \(\mathbb K_{n+m-1}[X]\) du système de vecteurs \(\mathscr F\), son déterminant \(res(P,Q)=\det S(P,Q)\) est le résultant de \(P\) et \(Q\) ; on a donc : \[res(P,Q)\ne 0\quad\iff\quad P\wedge Q=1.\]

-Une application immédiate est que l’ensemble \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\) formé des matrices ayant \(n\) valeurs propres distinctes est un ouvert de \(M_n(\mathbb C)\) : en effet vu la remarque précédente \[A\in \mathscr D'_n(\mathbb C)\quad\iff\quad P_A\wedge P_A'=1\quad\iff\quad \varphi(A)=res(P_A,P_A')\ne 0,\] l’ensemble \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\) est donc ouvert de \(M_n(\mathbb C)\) comme image réciproque de l’ouvert \(\mathbb C^\star\) par l’application continue (car polynomiale en les coefficients de \(A\)) \(\varphi\), c’est en fait même un ouvert dense (voir l’exercice ci-dessous).


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