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[ID: 2487] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Polynômes dans \(\mathbb Z[X]\)
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

Notons \[A=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n,\qquad B=b_0+b_1X+\dots+b_mX^m.\] Puisque \(AB\not\in 4\mathbb Z[X]\) nécessairement l’un des deux polynômes, disons B, possède au moins un coefficient impair.

Supposons alors que tous les coefficients de \(A\) ne soient pas pairs, soit \(a_s\) (resp. \(b_k\)) le premier coefficient impair de \(A\) (resp. \(B\)) alors le coefficient de \(X^{s+k}\) dans \(AB\) est \[\begin{matrix} \underbrace{a_0b_{k+s}+a_1b_{k+s-1}+\dots+a_{s-1}b_{k+1}}&+& \underbrace{ a_sb_k}& +&\underbrace{a_{s+1}b_{k-1}+\dots+a_{k+s}b_0} \\ \underbrace{ pair\cdot(?) +pair\cdot(?) +\dots+ pair\cdot(?) }_{pair} &+&\underbrace {impair\cdot impair}_{impair} &+& \underbrace{(?)\cdot pair + (?)\cdot pair + (?) \cdot pair}_{pair}\\ \end{matrix}\] il est donc impair, d’où la contradiction.