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[ID: 2485] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Polynômes, nombres premiers
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

Soit \(N,M\in\mathbb N\) tels que \(P(N)=M\). Alors, pour tout entier \(k\) \[P(N+kM)-P(N)=a_d\left((N+kM)^d-N^d \right)+a_{d-1} \left((N+kM)^{d-1}-N^{d-1} \right)+\dots+a_1(N+kM-N)\] est divisible par \(kM\) (car \((N+kM)^j-N^j,\ (1\leq j\leq d)\) est divisible par \(N+kM-N=kM\) ) donc par \(M\). Ainsi \[\forall\,k\in\mathbb N\quad :\quad P(N+kM)\quad\text{est divisible par}\quad M.\] Un polynôme de degré \(d\geq 1\) ne pouvant prendre au plus \(d\) fois la même valeur il existera dans la suite \((P(N+kM))_{k=0}^{2n+1}\subset M\mathbb Z\) des entiers distincts de \(\pm M\) donc non premiers.

Remarque : Par contre la réponse est oui en plusieurs variables...............à suivre......