[rms], 2003/04.

Soit \({\mathscr R}\) l’ensemble des fractions rationnelles réelles sans pôle dans \([0,1]\) et \({\mathscr R}_{m,n}\) le sous-ensemble des fractions \(F={P\over Q}\)\(P\) est de degré \(\leqslant n\) et \(Q\) de degré \(\leqslant m\).

  1. Ces ensembles sont-ils des espaces vectoriels ?

  2. On considère \(g:[0,1]\to\mathbb{R}\) continue. Montrer que \(\mathop{\rm inf}\{\vert\vert g-r\vert\vert _{\infty}\ /\ r\in {\mathscr R}_{m,n}\}\) est atteint

    (i)  Lorsque \(n=0\).

    (ii) Dans tous les cas.


Barre utilisateur

[ID: 2483] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Polynomes et fractions rationelles, approximation
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24
  1. Pour \(m=0\), \({\mathscr R}_{m,n}\) est un espace vectoriel (pour les opérations usuelles sur les fonctions) mais pour \(m\geqslant 1\), ce n’est pas le cas: par exemple \(\frac {x^n} {(x+1)^m} +\frac {x^n} {(x+2)^m}\notin{\mathscr R}_{m,n}\).

  2. Pour \(n=0\), \({\mathscr R}_{m,n}\) est un espace vectoriel de dimension finie et le résultat découle du fait que dans tout espace vectoriel normé la distance à un sous-espace de dimension finie est atteinte.

    Passons au ii). Si \(f\) est continue sur \(I\) et \(F\) rationnelle sans pôle dans \(I\), \(f-F\) est continue donc bornée sur le segment \(I\). De plus l’ensemble \(\{ \vert\vert f-F\vert\vert _{\infty}\ /\ F\in E_{mn,}\}\) est non vide et minoré par \(0\): il admet une borne inférieure \(d_{m,n}(f)\).

    Soit \(F_k={P_k\over Q_k}\), avec \(P_k\in\mathbb{R}_m[X]\) et \(Q_k\in\mathbb{R}_n[X]\) sans zéro dans \(I\), une suite de \(E_{m,n}\) telle que \(\vert\vert f-F_k\vert\vert _{\infty}\) tend vers \(d_{m,n}(f)\). Quitte à multiplier \(P_k\) et \(Q_k\) par une même constante, on peut supposer \(\vert\vert Q_k\vert\vert _{\infty}=1\).

    De plus la suite \(\vert\vert F_k-f\vert\vert _{\infty}\) est convergente donc bornée, donc la suite des \(\vert\vert F_k\vert\vert _{\infty}\) est aussi bornée par un réel \(M\geqslant 0\). On a alors \(\forall k, \vert\vert P_k\vert\vert _{\infty}=\vert\vert Q_kF_k\vert\vert _{\infty ???}\vert\vert Q_k\vert\vert _{\infty}\vert\vert F_k\vert\vert _{\infty}\leqslant M\). Ainsi les deux suites \((P_k)\) et \((Q_k)\) sont des suites bornées d’un espace normé de dimension finie, selon le théorème de Bolzano-Weirstrass il existe \(\phi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) strictement croissante telle que \((P_{\phi (k)})\) converge vers un polynôme \(P\in\mathbb{R}_m[X]\) puis il existe \(\psi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) strictement croissante telle que \((Q_{\phi (\psi (k)})\) converge vers un polynôme \(Q\in\mathbb{R}_n[X]\).

    Attention, \(Q\) n’est pas le polynôme nul (car \(\vert\vert Q\vert\vert _{\infty}=1\)) mais a priori il peut s’annuler dans \([0,1]\).

    Soit \(F={P\over Q}\in E_{m,n}\). Pour tout \(x\) non zéro de \(Q\), on a \(F(x)=\lim _k{P_{\phi (\psi (k)}(x)\over Q_{\phi (\psi (k)}(x)}\) (car la convergence uniforme entraîne la convergence simple) et donc

    \[\vert f(x) - F(x)\vert=\lim _k\bigl\vert f(x) - {P_{\phi (\psi(k)}(x)\over Q_{\phi (\psi (k)}(x)}\bigr\vert \leqslant d_{m,n}(f)\]

    Comme \(f\) est bornée, on en déduit que \(F\) est bornée sur le complémentaire d’une partie finie de \([0,1]\) donc elle n’a pas de pôle dans \([0,1]\) (si elle avait un pôle \(a\) on aurait \(\lim _{x\to a}\vert F(x)\vert=+\infty\)) et donc \(F\in E_{m,n}\).

    De plus le calcul précédent montre que \(\vert\vert f-F\vert\vert _{\infty} \leqslant d_{m,n}(f)\) et donc, comme l’inégalité inverse est évidente, on a \(\vert\vert f-F\vert\vert _{\infty} = d_{m,n}(f)\).


Documents à télécharger

Polynomes et fractions rationelles, approximation
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice