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[ID: 2481] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

-\(E_n\) est le sous-espace de \(\mathbb{R}[X,Y]\) de base \(\{ X^iY^{n-i}\ / i=0,\ldots ,n\}\) donc de dimension \(n+1\).

-\(A_n\) est l’ensemble des \((X^2+Y^2)Q\) où \(Q\in E_{n-2}\). En effet, si \(Q\) est homogène de degré \(n-2\), il est clair que \((X^2+Y^2)Q\) est homogène de degré \(n\). Inversement, si \(P\in A_n\), homogène de degré \(n\), s’écrit \(P=(X^2+Y^2)Q\), alors \(Q\) est homogène de degré \(n-2\); pour le voir on peut invoquer le résultat suivant

\(P\in\mathbb{R}[X,Y]\) est homogène de degré \(n\) si, et seulement si, \(\displaystyle\forall \lambda\in\mathbb{R}, P(\lambda X,\lambda Y)=\lambda ^nP(X,Y)\).

La condition nécessaire est évidente. Pour la condition suffisante si \(P=\sum_{(i,j)\in F}a_{i,j}X^iY^j\), avec \(F\) fini, la relation donne \(\forall (i,j)\in F,\forall \lambda\in\mathbb{R}, a_{i,j}(\lambda ^n-\lambda ^{i+j})=0\) donc, comme \(\mathbb{R}\) est infini, \(a_{i,j}=0\) dès que \(i+j\not =n\).

On déduit que si \(P=(X^2+Y^2)Q\) est homogène de degré \(n\), on a

\[\forall \lambda\in\mathbb{R},\quad \lambda ^n(X^2+Y^2) Q(\lambda X,\lambda Y)= \lambda ^2(X^2+Y^2)Q(\lambda X,\lambda Y)\]

puis, du fait que \(\mathbb{R} [X,Y]\) est intègre, \(\forall \lambda\in\mathbb{R}, \lambda ^{n-2}Q(X,Y)=Q(\lambda X,\lambda Y)\) i.e. \(Q\in E_{n-2}\).

-On voit donc que \(A_n\) est de dimension \(n-1\) car l’application \(Q\in E_{n-2}\mapsto (X^2+Y^2)Q\in A_n\) est un isomorphisme.

-Déterminons le noyau de \(\Delta _n :P\in E_n\mapsto \Delta P\). Si \(P=\sum_{i=0}^na_iX^iY^{n-i}\) on a

\[\Delta P =\sum_{k=0}^{n-2}\bigl( (n-k)(n-k-1)a_k+(k+2)(k+1)a_{k+2}\bigr) X^kY^{n-2-k}\]

donc \(\Delta P\) est nul si, et seulement si, \(\forall k, a_{k+2}=-{(n-k)(n-k-1)\over (k+1)(k+2)}a_k\) c’est à dire si, et seulement si,

\[\hbox{pour }0\leqslant 2k\leqslant n , a_{2k}=(-1)^kC_n^{2k}a... ...slant 2k+1\leqslant n , a_{2k+1}={(-1)^k\over n}C_n^{2k+1}a_1.\]

Ainsi l’application qui à \(P=\sum_{i=0}^na_iX^iY^{n-i}\in\mathop{\rm Ker}\Delta\) associe \((a_0,a_1)\in\mathbb{R} ^2\) est un isomorphisme donc \(\mathop{\rm Ker}\Delta\) est de dimension \(2\). De plus tout \(P\in \mathop{\rm Ker}\Delta\) s’écrit \(P=a_0R +a_1 I\) avec

\[R=\sum_{0\leqslant 2k\leqslant n} (-1) ^kC_n^{2k}X^{2k}Y^{n-2... ...leqslant 2k+1\leqslant n} (-1) ^kC_n^{2k+1}X^{2k+1}Y^{n-2k-1}.\]

-Déterminons \(A_n\cap \mathop{\rm Ker}\Delta\). Si \(P=aR+bI\in \mathop{\rm Ker}\Delta\) est multiple de \(X^2+Y^2\), on a un polynôme \(Q\) tel que \(aR+bI=(X^2+Y^2)Q\) donc \(aR(i,1)+bI(i,1)=0\) soit

\[a\sum_{0\leqslant 2k\leqslant n} C_n^{2k}+bi\sum_{0\leqslant 2k+1\leqslant n} C_n^{2k+1}=0\]

ce qui, puisque \(a,b\in\mathbb{R}\), donne \(a=b=0\) et \(P=0\).

-En conclusion \(A_n\) et \(\mathop{\rm Ker}\Delta\) ont une intersection réduite à \(\{ 0\}\) et la somme de leur dimension est égale à celle de \(E_n\) (\(n+1\)) donc on a \(E_n=A_n\oplus H_n\).

Remarques : -Ainsi tout \(P\in E_n\) s’écrit de manière unique

\[P=H+(X^2+Y^2)Q\hbox{ avec $H$ harmonique et }Q\in E_{n-2}.\]

On peut décomposer \(Q\) de la même manière et en itérant on obtient une écriture \(P=\sum_{i=0}^{E (n/2)} H_i(X^2+Y^2)^i\) avec \(H_i\) harmonique et homogène de degré \(n-2i\).

-On peut aussi contourner le calcul en notant que les polynômes (complexes) \((X+\pm iY)^n\) sont homogènes de degré \(n\) et harmoniques. On en déduit aisément que \({1\over 2} \bigl( (X+iY)^n+(X-iy)^n\bigr)\) et \({1\over 2i} \bigl( (X+iY)^n-(X-iy)^n\bigr)\) constituent une base de \(\mathop{\rm Ker}(\Delta_ n)\). D’ailleurs ce sont à peu près les polynômes \(R,I\) ci-dessus.