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[ID: 2479] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Trois exercices sur les polynômes
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

1. Notons¹ \(C\) l’ensemble des points critiques de \(P\), c’est-à-dire l’ensemble des zéros de \(P'\), \(V=P(C)\) l’ensemble des valeurs critiques de \(P\). Introduisons les ensembles \(F = E\cap V\) et \(G = E\setminus F\).

   Soit \(w\in G\) ; par définition de \(G\), tous les zéros du polynôme \(P - w\) sont simples, donc \(P - w\) possède \(\mathop{\rm deg}(P)\) racines distinctes. De là, \(\mathop{\rm card}(P^{-1}(G) = \mathop{\rm deg}(P)\mathop{\rm card}(G).\)

   Ecrivons \(F= \{w_1,\ldots,w_r\}\) où les \(w_i\) sont deux à deux distincts et notons \(x_{1,j},\ldots,x_{p(j),j}\) les racines de \(P - w_j\), \(\alpha_{1,j,}\ldots,\alpha_{p(j),j}\) leurs multiplicités, de somme \(\mathop{\rm deg}(P)\). Chaque \(x_{i,k}\) est racine de \(P'\) avec la multiplicité \(\alpha_{i,k}-1\) ; le nombre de racines de \(P'\) ainsi obtenu est de ce fait

   \[S = \sum_{i,j}(\alpha_{i,j}-1) = r.\mathop{\rm deg}(P)-\mathop{\rm card}(P^{-1}(F)\leqslant \mathop{\rm deg}(P')\]

   il en résulte \(\mathop{\rm card}(P^{-1}(F))\geqslant (r-1)\mathop{\rm deg}(P)+1 = (\mathop{\rm card}(F)-1) \mathop{\rm deg}(P)+1\).

   En réunissant les deux résultats ci-dessus, il vient

   \[\begin{aligned}\mathop{\rm card}(P^{-1}(E)) &= \mathop{\rm card}(P^{-1}(F))+\mathop{\rm card}(P^{-1}(G))\\ &\geq\mathop{\rm deg}(P)({\rm card}(F)+{\rm card}(G)-1)+1 = \mathop{\rm deg}(P)(\mathop{\rm card}(E)-1)+1. \end{aligned}\]

2. Comme dans la question précédente, on introduit l’ensemble \(C\) des points critiques de \(P\), c’est-à-dire l’ensemble des zéros de \(P'\), et l’ensemble \(V=P(C)\) des valeurs critiques de \(P\).

   -Lorsque \(z\notin V\), aucune des racines du polynôme complexe \(P(X)-z\) n’est multiple, on a donc, avec les notations de l’énoncé, \(d = n(z)\). La contribution de \(z\) à la somme étudiée est donc nulle.

   -Notons \(z_1,\ldots,z_r\) les éléments de \(V\). Pour \(j\) dans \(\{1,\ldots,r\}\), soient \(x_{1,j},\ldots,x_{p(j),j}\) les racines complexes de \(P(X) - z_j\) appartenant à \(C\), de multiplicités respectives \(\alpha_{1,j,}\ldots,\alpha_{p(j),j}\) dans \(P'\). Ces racines sont précisément les racines multiples de \(P(X) - z_j\), car ce dernier a pour dérivée \(P'\).

   Donc \(P(X) - z_j\) possède exactement \(d - \sum_{i=1}^{p(j)}\alpha_{i,j}\) racines distinctes, et de ce fait

   \[d-n(z) = \sum_{i=1}^{p(j)}\alpha_{i,j}.\]

   Or les ensembles \(\{x_{1,j},\ldots,x_{p(j),j}\}\) constituent, quand \(j\) parcourt \(\{1,\ldots,r\}\), une partition de \(C\). La somme des \(d-n(z)\), \(z\in V\), est donc égale à la somme des racines de \(P'\) comptées avec leurs multiplicités, c’est-à-dire au degré de \(P'\) : la somme cherchée est \(d-1\).

3. On suppose bien évidemment \(P\) non nul et non constant. On raisonne par récurrence sur le degré \(m\) de \(P\) en \(X\), le cas de \(m=0\) étant trivial. Supposons donc \(m\geqslant 1\), et

   \[f(x) = P(x,e^x) = e^{mx}P_m(x)+\cdots+P_0(x)\]

   avec \(P_m\neq 0\) et \(\mathop{\rm deg}(P_0)\leqslant n\). Par les opérations usuelles, la fonction \(f\) est développable en série entière sur \(\mathbb{R}\) au voisinage de chaque point ; puisque \(f\) n’est pas nulle, on peut déterminer, pour chaque zéro \(a\) de \(f\), le premier indice \(p_a\) tel que \(f^{p_a}\neq 0\), que l’on appelle multiplicité du zéro \(a\) de \(f\). Avec cette définition, un zéro de \(f\) de multiplicité \(p\) devient un zéro de \(f'\) de multiplicité \(p-1\), et le théorème de Rolle amène usuellement le fait que, si \(f\) possède au moins \(N\) zéros comptés avec leurs multiplicités, \(f'\) en possède au moins \(N-1\). Montrons alors, avec les notations de l’énoncé, que la somme des multiplicités des zéros de \(f\) est majorée par \(mn+m+n\).

   Comme \(\mathop{\rm deg}(P_0)\leqslant n\), la dérivée \(n+1\)-ème de \(f\) est de la forme

   \[g(x) = e^{mx}.Q_m(x)+\cdots+e^x.Q_1(x)\]

   où les \(Q_i\) sont des polynômes vérifiant, par une récurrence immédiate, \(\mathop{\rm deg}(Q_i) = \mathop{\rm deg}(P_i)\).

   Après simplification par \(e^x\), on applique l’hypothèse de récurrence à \(g\) qui possède donc moins de \((m-1)n+m-1+n\) zéros, comptés avec leurs multiplicités. D’après ce qui précède (Rolle) le nombre de zéros de \(f\) est borné par \((m-1)n+m-1+n+n+1 = mn+n+m\).

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1. 1  Nous reprenons in-extenso les solutions données dans la revue.