[rms], 2003/04.

  1. Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\), \(P\) non constant et \(E\) un sous-ensemble fini de \(\mathbb{C}\). Montrer que

    \[\vert P^{-1}(E)\vert\geqslant (\vert E\vert-1)\mathop{\rm deg}P+1.\]

  2. Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\), de degré \(d\geqslant 1\). On note \(n(z)\) le nombre de racines de l’équation \(P(x)=z\). Donner une expression de \[\sum_{z\in\mathbb{C}}{(d-n(z))}.\]

  3. Soit \(P(X,Y)\) un polynôme réel de deux variables. On suppose \(P\) de degré au plus \(m\) en \(X\) et au plus \(n\) en \(Y\). Montrer que la fonction de variable réelle \(x \mapsto P(e^x,x)\) admet au plus \(mn+m+n\) zéros.


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[ID: 2479] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Trois exercices sur les polynômes
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24
  1. Notons1 \(C\) l’ensemble des points critiques de \(P\), c’est-à-dire l’ensemble des zéros de \(P'\), \(V=P(C)\) l’ensemble des valeurs critiques de \(P\). Introduisons les ensembles \(F = E\cap V\) et \(G = E\setminus F\).

    Soit \(w\in G\) ; par définition de \(G\), tous les zéros du polynôme \(P - w\) sont simples, donc \(P - w\) possède \(\mathop{\rm deg}(P)\) racines distinctes. De là, \(\mathop{\rm card}(P^{-1}(G) = \mathop{\rm deg}(P)\mathop{\rm card}(G).\)

    Ecrivons \(F= \{w_1,\ldots,w_r\}\) où les \(w_i\) sont deux à deux distincts et notons \(x_{1,j},\ldots,x_{p(j),j}\) les racines de \(P - w_j\), \(\alpha_{1,j,}\ldots,\alpha_{p(j),j}\) leurs multiplicités, de somme \(\mathop{\rm deg}(P)\). Chaque \(x_{i,k}\) est racine de \(P'\) avec la multiplicité \(\alpha_{i,k}-1\) ; le nombre de racines de \(P'\) ainsi obtenu est de ce fait

    \[S = \sum_{i,j}(\alpha_{i,j}-1) = r.\mathop{\rm deg}(P)-\mathop{\rm card}(P^{-1}(F)\leqslant \mathop{\rm deg}(P')\]

    il en résulte \(\mathop{\rm card}(P^{-1}(F))\geqslant (r-1)\mathop{\rm deg}(P)+1 = (\mathop{\rm card}(F)-1) \mathop{\rm deg}(P)+1\).

    En réunissant les deux résultats ci-dessus, il vient

    \[\begin{aligned}\mathop{\rm card}(P^{-1}(E)) &= \mathop{\rm card}(P^{-1}(F))+\mathop{\rm card}(P^{-1}(G))\\ &\geq\mathop{\rm deg}(P)({\rm card}(F)+{\rm card}(G)-1)+1 = \mathop{\rm deg}(P)(\mathop{\rm card}(E)-1)+1. \end{aligned}\]

  2. Comme dans la question précédente, on introduit l’ensemble \(C\) des points critiques de \(P\), c’est-à-dire l’ensemble des zéros de \(P'\), et l’ensemble \(V=P(C)\) des valeurs critiques de \(P\).

    -Lorsque \(z\notin V\), aucune des racines du polynôme complexe \(P(X)-z\) n’est multiple, on a donc, avec les notations de l’énoncé, \(d = n(z)\). La contribution de \(z\) à la somme étudiée est donc nulle.

    -Notons \(z_1,\ldots,z_r\) les éléments de \(V\). Pour \(j\) dans \(\{1,\ldots,r\}\), soient \(x_{1,j},\ldots,x_{p(j),j}\) les racines complexes de \(P(X) - z_j\) appartenant à \(C\), de multiplicités respectives \(\alpha_{1,j,}\ldots,\alpha_{p(j),j}\) dans \(P'\). Ces racines sont précisément les racines multiples de \(P(X) - z_j\), car ce dernier a pour dérivée \(P'\).

    Donc \(P(X) - z_j\) possède exactement \(d - \sum_{i=1}^{p(j)}\alpha_{i,j}\) racines distinctes, et de ce fait

    \[d-n(z) = \sum_{i=1}^{p(j)}\alpha_{i,j}.\]

    Or les ensembles \(\{x_{1,j},\ldots,x_{p(j),j}\}\) constituent, quand \(j\) parcourt \(\{1,\ldots,r\}\), une partition de \(C\). La somme des \(d-n(z)\), \(z\in V\), est donc égale à la somme des racines de \(P'\) comptées avec leurs multiplicités, c’est-à-dire au degré de \(P'\) : la somme cherchée est \(d-1\).

  3. On suppose bien évidemment \(P\) non nul et non constant. On raisonne par récurrence sur le degré \(m\) de \(P\) en \(X\), le cas de \(m=0\) étant trivial. Supposons donc \(m\geqslant 1\), et

    \[f(x) = P(x,e^x) = e^{mx}P_m(x)+\cdots+P_0(x)\]

    avec \(P_m\neq 0\) et \(\mathop{\rm deg}(P_0)\leqslant n\). Par les opérations usuelles, la fonction \(f\) est développable en série entière sur \(\mathbb{R}\) au voisinage de chaque point ; puisque \(f\) n’est pas nulle, on peut déterminer, pour chaque zéro \(a\) de \(f\), le premier indice \(p_a\) tel que \(f^{p_a}\neq 0\), que l’on appelle multiplicité du zéro \(a\) de \(f\). Avec cette définition, un zéro de \(f\) de multiplicité \(p\) devient un zéro de \(f'\) de multiplicité \(p-1\), et le théorème de Rolle amène usuellement le fait que, si \(f\) possède au moins \(N\) zéros comptés avec leurs multiplicités, \(f'\) en possède au moins \(N-1\). Montrons alors, avec les notations de l’énoncé, que la somme des multiplicités des zéros de \(f\) est majorée par \(mn+m+n\).

    Comme \(\mathop{\rm deg}(P_0)\leqslant n\), la dérivée \(n+1\)-ème de \(f\) est de la forme

    \[g(x) = e^{mx}.Q_m(x)+\cdots+e^x.Q_1(x)\]

    où les \(Q_i\) sont des polynômes vérifiant, par une récurrence immédiate, \(\mathop{\rm deg}(Q_i) = \mathop{\rm deg}(P_i)\).

    Après simplification par \(e^x\), on applique l’hypothèse de récurrence à \(g\) qui possède donc moins de \((m-1)n+m-1+n\) zéros, comptés avec leurs multiplicités. D’après ce qui précède (Rolle) le nombre de zéros de \(f\) est borné par \((m-1)n+m-1+n+n+1 = mn+n+m\).


  1. 1  Nous reprenons in-extenso les solutions données dans la revue.

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