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[ID: 2477] [Date de publication: 8 novembre 2022 13:24] [Catégorie(s): Polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur les polynômes de la forme \(P=QP''\) avec \(\text{deg}(Q)=2\)
Par Patrice Lassère le 8 novembre 2022 13:24

-Solution 1 : Supposons que \(P\) n’admet pas \(d\) racines distinctes, il admet donc une racine au moins double que l’on peut supposer, sans perdre de généralité être égale à \(0\) (quitte à remplacer \(x\) par \(x-a\)). Désignons par \(n\) la multiplicité de ce zéro, on a donc \(P(x)=x^nR(x)\) avec \(R(0)\neq 0\). Soit \[P''(x)=(n^2-n)x^{n-2}R(x)+2nx^{n-1}R'(x)+x^nR''(x).\] Comme \(R(0)\neq 0\) et \(n\geq 2\), \(x=0\) est une racine d ’ordre au plus \(n-2\) de \(P''\) et par conséquent (car c’est aussi une racine d’ordre \(n\) de \(P\)) \(x^2\) divise \(Q\). Mais \(Q\) est de degré \(2\) et donc de la forme \(Q(x)=Cx^2\) où \(C=d^{-1}(d-1)^{-1}\) (en comparant les termes de degré \(d\) dans \(P=Cx^2P''\)...).

Pour conclure, l’égalité \(P(x)=a_dx^d+\dots+a_1x+a_0=d^{-1}(d-1)^{-1}x^2P''(x)\) implique \(a_j=d^{-1}(d-1)^{-1}j(j-1)a_j,\ 0\leq j\leq d\), soit \(a_j=0\) pour \(0\leq j\leq d-1\) et finalement \(P(x)=a_dx^d\).