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[ID: 2375] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:41] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:41

1. La solution repose sur le fait suivant : toute matrice \(A\in M_n(\mathbb R)\) est semblable à sa transposée mais si de plus \(A\) est une matrice cyclique (i.e. semblable a une matrice compagnon), on peut imposer à la matrice de passage d’être symétrique réelle. que l’on va pouvoir étendre à tout \(M_n(\mathbb R)\).

   En effet, soient \[A\,=\,\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix},\ \ S\,=\, \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n-1} & 1 \\ a_{2} & a_{3} & \dots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & 1&\dots &0&0\\ 1 & 0 &\dots & 0 & 0 \end{pmatrix}\in GL_n(\Bbb C),\] alors \[AS\,=\,\begin{pmatrix} -a_0 & 0 & 0 & \dots & 0 &0\\ 0 & a_2 & a_3 & \dots & a_{n-1} &1\\ 0 & a_3 & a_4 & \ddots &1 &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots &\vdots\\ 0 & a_{n-1} &1&\dots &0&0\\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0&0 \end{pmatrix}\] est une matrice symétrique et par conséquent \(AS={ }^t\!\big(AS\big)=S\big({ }^t\!A\big)\) i.e. \(A=S\big({ }^t\!\!A\big)S^{-1}\).

   Il en résulte immédiatement que toute matrice de Frobenius (i.e. une matrice constituée de blocs diagonaux cycliques) \(F\) admet une matrice de passage à sa transposée \(S\) symétrique réelle (\(F=SAS^{-1}\)). Vérifions maintenant que cette propriété se généralise à toutes les matrices.

   Comme toute matrice \(A\in M_n(\mathbb R)\) est semblable à une matrice de Frobenius (c’est le théorème de décomposition de Frobenius analogue cyclique du théorème de décomposition de Jordan) il existe donc \(P\in GL_n(\mathbb R), S\in \mathscr S_n(\mathbb R)\cap GL_n(\mathbb R)\) et \(F\) matrice de Frobenius, telles que \[A= P F P^{-1},\quad F=S\,{ }^t\!F S^{-1}.\] Ainsi \[\begin{aligned}A= P (S\,{ }^t\!F S^{-1}) P^{-1}&= (P S)( \,{ }^t\!P \,{ }^t\!P^{-1}) \,{ }^t\!F (\,{ }^t\!P \,{ }^t\!P^{-1 })(S^{-1} P^{-1})\\ &=(P S \,{ }^t\!P) (\,{ }^t\!P^{-1} \,{ }^t\!F \,{ }^t\!P)( \,{ }^t\!P^{-1 }S^{-1} P^{-1})\\ &=(P S \,{ }^t\!P) \,{ }^t\!A( \,{ }^t\!P^{-1 }S^{-1} P^{-1})\\ &=(P S \,{ }^t\!P) \,{ }^t\!A (P S \,{ }^t\!P)^{-1}=S_1 \,{ }^t\!A S_1^{-1} \end{aligned}\] où \(S_1= P S \,{ }^t\!P\). La matrice de passage \(S_1\) est clairement symétrique, nous avons donc démontré que pour toute matrice \(A\in M_n(\mathbb R)\), il existe une matrice de passage symétrique \(S\) telle que \(A=S \,{ }^t\!A S^{-1}\).

2. On peut alors écrire \[A=S S',\quad \text{où}\quad S'= \,{ }^t\!A S^{-1}\] et comme \[\,{ }^t\!(S')=\,{ }^t\!(\,{ }^t\!A S^{-1})=\,{ }^t\! S^{-1}A= S^{-1}S \,{ }^t\!A S^{-1}=\,{ }^t\!A S^{-1}=S'\] \(S'\) est symétrique et le tour est joué puisque \(A=S S'\).

   Remarques : -On peut consulter1 The factorisation of a square matrix into two symmetric matrices Amer.Math.Monthly 1986-6, page 462/64 pour une approche via la decomposition de Jordan et apprendre aussi que ce resultat est du a Frobenius lui même.

   -Dans [grula], on trouve cette jolie caractérisation des matrices diagonales réelles : Une matrice \(A\in M_n(\mathbb R)\) est diagonalisable si, et seulement si, il existe une matrice \(S\) symétrique définie positive telle que \({ }^t\!A=S^{-1}A{ }^t\!S\).

   La preuve n’est pas difficle : si \(A\) est diagonalisable, il existe \(P\in GL_n(\mathbb R)\) telle que \(P^{-1}AP=D\) où \(D\) est diagonale. Donc \(D={ }^t\!D={ }^t\!P{ }^t\!A{ }^t\!P^{-1}\), soit \({ }^t\!P{ }^t\!A{ }^t\!P^{-1}=P^{-1}AP\) où encore \({ }^t\!A=(P{ }^t\!P)^{-1}A(P{ }^t\!P)\) et la condition est nécessaire puisque \(S=P{ }^t\!P\) est symétrique définie positive.

   Réciproquement, supposons qu’il existe \(S\) symétrique définie positive (vérification immédiate) telle que \({ }^t\!A=S^{-1}AS\) ; \(S\) définie positive se factorise² sous la forme \(S=P{ }^t\!P\) où \(P\in GL_n(\mathbb R)\), donc \({ }^t\!A={ }^t\!P^{-1}P^{-1}AP{ }^t\!P\) soit \({ }^t\!P{ }^t\!A{ }^t\!P^{-1}=P^{-1}AP\) et finalement \({ }^t\!(P^{-1}AP)=P^{-1}AP\). Ainsi, \(P^{-1}AP\) est symétrique réelle, donc diagonalisable qui entraine à son tour \(A\) diagonalisable.

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1. 1  Une référence aimablement communiquée par notre collégue J.B.Hiriart-Urruty (Université Toulouse 3).

2. Il existe \(O\in\mathscr O_n(\mathbb R)\) telle que \(S=O^{-1}DO={ }^t\!ODO\) avec \(D=\text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),\ (\lambda_i>0,\ \forall\,i)\) ; si on pose \(\sqrt{D}=\text{diag}(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n})\) alors \(P=\sqrt{D}O\) convient.↩︎