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[ID: 2373] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:41] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Bases orthormées
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:41

\((f_j)_1^d\) étant orthonormée, on a avec Pythagore \[\sum_{1\leq i,j\leq d}\langle u(e_i),f_j\rangle^2=\sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d \langle u(e_i),f_j\rangle^2 =\sum_{i=1}^d \Vert u(e_i)\Vert^2,\] nous sommes donc déja assurés que (\(\star\)) ne dépend pas \((f_j)_1^d\). Il reste à prouver que \[\sum_{i=1}^d \Vert u(e_i)\Vert^2=\sum_{i=1}^d \Vert u(f_i)\Vert^2\] Pour cela si \(A=((a_{i,j}))\) désigne la matrice de \(u\) dans la base \((e_i)_1^d\) \[\rm{trace}(A\,\!^tA)=\sum_{1\leq i,j\leq d}a_{i,j}^2=\sum_{i=1}^d \Vert u(e_i)\Vert^2\] de même \[\sum_{i=1}^d \Vert u(f_i)\Vert^2=\rm{trace}(B\,\!^tB)\] où \(B=\rm{mat}(u,(f_j)_1^d)=P^{-1}AP\) et \(P\in GL_d(\mathbb R)\) est la matrice de passage entre les deux bases. Ces deux bases étant orthonormées, \(P\) est orthogonale i.e. \(P^{-1}=\,\!^tP\) et par suite \[\rm{trace}(B\,\!^tB)=\rm{trace}(P^{-1}AP\,\!^t(P^{-1}AP)=\rm{trace}(P^{-1}AP\,\!^tP\,\!^tA\,\!^tP) =\rm{trace}(P^{-1}A\,\!^tAP)=\rm{trace}(A\,\!^tA).\]