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[ID: 2371] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:41] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Autour de la trace
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:41

Muni du produit scalaire \(\langle A,B\rangle=\text{tr}(A\,{ }^t\!B)\), \(M_n(\mathbb R)\) est un espace euclidien et

\[E:=\{\,A\in M_n(\mathbb R)\ :\ \text{tr}(A)=0\}\]

est un sous-espace vectoriel de \(M_n(\mathbb R)\) de dimension \(n^2-1\) : c’est en effet le noyau de la forme linéaire

\[\varphi\ :\ A\in M_n(\mathbb R)\mapsto \varphi(A)=\text{tr}(A)\]

donc \(\dim E+\dim \left(\text{im}(\varphi)\right) =n^2\Longrightarrow \dim E=n^2-\dim \left(\text{im}(\varphi)\right)=n^2-1\) car \(\text{im}(\varphi)\) est un sous-espace non réduit à l’origine de \(\mathbb R\) donc égal à \(\mathbb R\).

Par suite \(\dim E^\perp =1\) et \(E^\perp =\mathbb RI_n\) car bien sûr \(I_n\in E^\perp\), mais

\[\left(\forall \,X\in M_n(\mathbb R),\ \text{tr}(X)=0\Longrightarrow \text{tr}(AX)=0=\langle A,{ }^t\!X\rangle\right)\iff\left(A\in E^\perp=\mathbb RI_n\right)\]