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[ID: 2369] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:41] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Produit scalaire, continuité, topologie
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:41

L’application \[\varphi\ :\ (x,y)\in E\times E\mapsto \varphi(x,y)=\langle x,y\rangle-\sqrt{\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle}\in\mathbb R.\] est continue sur \(E\times E\) muni de sa topologie naturelle d’espace produit (la continuité du produit scalaire résulte de l’inégalité de Cauchy-Schwarz) et, vu le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz \(\mathscr O=\varphi^{-1}(\mathbb R^\star)\). C’est donc un ouvert comme image réciproque d’un ouvert par une application continue.