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[ID: 2367] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:41] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une matrice symétrique non diagonalisable
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:41

Non bien sûr ! \(\lambda=1\) est son unique valeur propre : si elle était diagonalisable elle serait semblable et donc égale à \(I_2\).

Remarques : -un contre-exemple à toujours avoir sous la main : ce sont les matrices symétriques réelles qui sont toujours diagonalisables et dans une base orthonormée s’il vous plaît.

-Profitons en pour donner l’exemple d’une matrice non triangularisable (sur \(\mathbb R\) bien entendu...) : \(\begin{pmatrix} 1&-1\\1&1\end{pmatrix}\) et d’une matrice non diagonalisable (sur \(\mathbb C\) bien entendu...), à savoir \(\begin{pmatrix} 1&1\\0&1\end{pmatrix}\).

-Dans la même veine, pour terminer voici deux matrices \[\begin{pmatrix} 1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}\] qui ne sont pas semblables mais qui ont même polynômes minimal et caractéristiques. Vous pouvez remarquer que ce sont des matrices \(4\times 4\), ce qui est normal car pour \(n\leq 3\), deux matrices (ou endomorphismes) sont semblables si, et seulement si, ils ont mêmes polynômes minimal et caractéristiques. Mais pour \(n\geq 4\) l’implication non triviale est fausse.