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[ID: 2365] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:40] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Espaces euclidiens et projection orthogonale
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:40

Il est bien entendu équivalent de déterminer

\[\inf_{M=((m_{ij}))\in \mathscr S_n}\,\sqrt{\sum_{1\leq i,j\leq n}\left(a_{ij}-m_{ij}\right)^2},\qquad{(\text{$\star$})}\]

et si \(M_n(\Bbb R)\) est muni du produit scalaire

\[\langle A,B\rangle=\text{tr}(A\,^t\!B)\]

on peut reécrire (\(\star\)) sous la forme

\[\inf_{M\in \mathscr S_n}\,\sqrt{\sum_{1\leq i,j\leq n}\left(a_{ij}-m_{ij}\right)^2}=\inf_{M\in \mathscr S_n}\,\text{tr}\left((A-M)\,^t\!(A-M)\right)=\inf_{M\in \mathscr S_n}\Vert A-M\Vert=\text{dist}(A,\mathscr S_n).\]

Par le théorème de projection orthogonale \[\text{dist}(A,\mathscr S_n)=\Vert A-B\Vert\] où \(B\) est la projection orthogonale de \(A\) sur \(\mathscr S_n\), le théorème de projection nous assure en outre que \(B-A\in\mathscr S_n^\perp\) et il est bien connu que \(\mathscr S_n^\perp\) n’est rien d’autre que l’ensemble des matrices antisymétriques, soit

\[^t\!(A-B)= B-A\quad\iff\quad B= ^t\!B={1\over 2}(A+ ^t\!A)\]

si bien que

\[\inf_{M=((m_{ij}))\in \mathscr S_n}\,\sum_{1\leq i,j\leq n}\left(a_{ij}-m_{ij}\right)^2 =\sum_{1\leq i,j\leq n}\dfrac{\left(a_{ij}-a_{ji}\right)^2}{2}.\]