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[ID: 2363] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:40] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Matrices symétriques
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:40

1. Notons \(V= \,^t \!(1,1,\dots,1)\in M_{n,1}(\mathbb R)\), par un calcul élémentaire

   \[\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}=\,^t\!VAV=\,^tVA^2V=\,^tV(\,^t\!A A)V=\Vert AV\Vert^2\geq 0.\]

   Pour l’inégalité de droite, remarquons que \(B=((b_{i,j}))= I_n-A\) vérifie encore \(^t\!B=B\) et \(B^2=B\), si bien que

   \[\sum_{1\leq i,j\leq n}b_{i,j}= n-\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j} \geq 0.\]

2. Notons \(A'=((\vert a_{i,j}\vert))\in M_n(\mathbb R)\) et \(U=(V,V,\dots, V)\in M_n(\mathbb R)\). \(M_n(\mathbb R)\) étant muni de sa structure euclidienne canonique \(\langle A,B\rangle =\text{trace}(\,^t\!A B)\), par Cauchy-Schwarz

   \[\langle A', U\rangle^2 \leq \Vert A'\Vert^2\,\Vert U\Vert^2\]

   soit

   \[\left(\sum_{1\leq i,j\leq n}\vert a_{i,j}\vert\right)^2 \leq \left(\sum_{1\leq i,j\leq n} a_{i,j}^2\right)\left(\sum_{1\leq i,j\leq n} 1^2 \right) (\bigstar)\]

   mais

   \[\sum_{1\leq i,j\leq n} a_{i,j}^2=\text{trace}(\,^t\!A A)=\text{trace}(A)\]

   et puisque \(A\) est une matrice de projection \(\text{trace}(A)=\text{rang}(A)\leq n\) soit avec \((\bigstar)\)

   \[\left(\sum_{1\leq i,j\leq n}\vert a_{i,j}\vert\right)^2\leq n^2\text{rang}(A)\leq n^3.\]

3. Vu l’inégalité précédente, on aura toujours une inégalité large, et l’égalité équivaut à \(\text{rang}(A)=n\) soit \(A\in GL_n(\mathbb R)\) puis (\(A^2=A\)) \(A=I_n\), mais alors

   \[\sum_{1\leq i,j\leq n}\vert a_{i,j}\vert = n<n^{3/2}\quad\text{dès que}\quad n\geq 2,\]

   d’où le résultat.